S 2. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES

464, On établit un théorème analogue à celui du N°60 pour les équations renfermant trois ou un plus grand nombre de variables. Nous nous bornerons ici au cas de trois variables, la démonstration étant la même dans le cas général,

Soit F (x, y, z) — o une équation entre trois variables ; si la fonction F et ses dérivées partielles F', F}, F' sont des fonctions continues de ces variables dans le voisinage d’un système de valeurs x — a, y — b,z—0c qui vérifie l'équation F — 0; si de plus F! (a, b, c) n’est pas nul, il existe une fonction z — (x, y) qui jouit des propriétés suivantes : 1° elle vérifie identiquement l'équation F — 0; ® elle se réduit à z—c pour x — a, y = b; 5° elle est simple et continue par rapport aux variables (x, y) dans le voisinage du point (a, b, c), et admet des dérivées partielles également continues par rapport à x et à y.

Eu égard aux conditions supposées, on peut déterminer une région T

limitée par (a + À, b+Æu, c + v), À, u, y étant des quantités positives

telles que, dans cette région T, les fonctions F,, F, ne puissent surpasser

en valeur absolue des nombres fixes A, B, et que WF’ reste toujours

supérieur à un nombre C > o. On pourra supposer en outre

(1) A1 + Bu < Cv,

car on peut réduire à volonté À et 1. Désignons par k, k, l des quantités

positives ou négatives, en valeur absolue égales ou inférieures à À, 1, v

respectivement ; il sera permis d'écrire, par la formule de Taylor

(2) F(a+h,b+k, Care a + 0h, b + 0%, c + 01) HUF, (a + 0h, .….) + 1F, (a + 0h, .….), (0 <9 < 1),

On prouvera par l'inégalité (1), comme au N° 160, que le second membre doit être de même signe que son dernier terme, si l’on prend DECER SARA TOUS RTE EAU

F(a+h,b+%,c+T1) changera donc de signe si, pour des valeurs données de h, 4 on prend successivement z2=c—71, z2—=Cc+7%, ct s’annulera par conséquent pour une valeur de z comprise entre ces deux limites; donc, pour chaque système de valeurs de x, y pris dans l’intérieur de la région T, il existe une valeur de z (et une seule, à cause de WF; > C) qui vérifie l'équation F (x, y, z) — 0. Cette valeur de z est une fonction simple z— (x, y) des variables, qui se réduit à c pour x = 4, y —b. Cette fonction est continue par rapport à x et y au point (a, b), car si h, k, l désignent les accroissements infiniment petits de x, y et de cette fonction z, on aura F (a h,b+k, c+ 1) = 0 et l'équation (2) montre que l'tendra vers zéro en même temps que À et k. De plus, si l’on fait £ — 0, on tire de cette même équation

hE3 (a + 0h, b, ce LOU HUE (a + 0h, b, c + 01) = 0,

d’où, k tendant vers la limite zéro, l__ Oz F3(a, b, c) RENDENT, (a, b,c)

Mais on peut raisonner de même sur tout système de valeurs (x, y, z) qui vérifie l'équation F — o dans l’intérieur de la région T; la ‘fonction

p (x, y) est donc continue dans le voisinage du point (a, b), et de plus, on aura en général

c’est-à-dire que la fonetion z des variables x et y définie par l’équation F — o admettra une dérivée partielle par rapport à x dans la région T, dérivée qui sera elle-même continue. Le mème raisonnement s’applique à la variable y, le théorème est donc démontré.

165. Les dérivées partielles premières de z sont données par les équations OF 0z OF dz G) k Are où ” e es dy —

On en tirera la différentielle totale dz par la formule connue

(4) da = de + dy Si l’on admet que les dérivées partielles successives de F(x, y, z) soient encore des fonctions continues des variables x, y, z dans la région T, on établira de la même manière l’existence et la continuité des dérivées partielles successives RE EE GTA dx?" Ox0y OY? 0x5 et par suite des différentielles totales d?z, d5z, ... Mais leur existence admise, on les calculera le plus simplement comme il suit : La fonction F (x, y, z) a une valeur constante nulle si z représente p (x, y), sa différentielle totale est donc nulle, et en la formant par la règle du N° 447, ce qui est permis, on a l'équation

OF OF OF (5) M Male 0-

qui fournit la valeur de dz, puisque D,F est supposé Zo. En ayant

égard à la formule (4), on aura ensuite les dérivées partielles de z par le principe du N° 158 et l’on retombera sur les relations (3). De même, considérant le premier membre de (5) comme une fonction de x, y et égalant sa différentielle totale à zéro, on aura (152) Pt Mt de AE Y+ des ni Oxdy

RES sd 0:

cette équation donnera la valeur de d?z, lorsqu'on y aura substitué celle de dz calculée plus haut, en fonction de dx, dy. On en déduira D£ z, D; z, D, D, z au moyen du principe du N° 45%. Et ainsi de suite.

166. Exemple. Soit z une fonction de x, y définie par l'équation

tite

Égalant à zéro la différentielle du premier membre, nous avons

d EE LE d’où Cé7ar y C0)

Différentions une seconde fois l'équation ; dx et dy sont constants, et il vient

re die 0,

d’où, tirant la valeur de d?z et remplaçant dz° par son expression, on trouve

Lars Ye NN UE de £ (+ SE) + dedy-+ (EE) SE ,

ce qui se réduit par l'équation entre x, y, z, à c* d?z — — PT Lu — Yÿ?) dx? 2xydxdy + (a? — x?) ap | - Connaissant dz, d?z, on aura sans peine

D>z22#D/D-2 0/7, 1etcHet

167. Enfin, des théorèmes analogues peuvent être démontrés pour un système de m fonctions y,, .…, y" de n variables æ1, .., x», définies par un système de m équations entre ces variables, lorsque ces équations satisfont à certaines conditions; mais pour ne pas entraver la marche du cours, nous ne ferons pas ici cette généralisation (1), et, supposant établie l’existence et la continuité de ces fonctions et de leurs dérivées partielles successives, nous allons montrer comment on les détermine.

(1) Voir la note IT à la fin du volume.

Soient F, (ED .…s ns Y15 …s Ym) — O, Fe (CIF cp Xny Yi, ce) Ym) RO)

Eu (rs 4.3 Ans Yi ce Un) — 0)

les équations données. Leurs premiers membres, considérés comme des fonctions de x, ..., x, par la substitution des valeurs de y1, ..., y», sont nuls constamment. On a donc dFi —0o, dF: — 0, …, dE, — 0, et en développant ces différenticlles par le principe du N° #49, nous aurons les m équations suivantes

| OF OF OF Se. TES RS lation md + — dy + + + din = 0,

OF: OF: OFa ie, Lab LA CAR RAR FE ETS m late Hide Ho tdu + Fa DEC

Er Li le mi + nas, RE RULES + En duo.

Elles sont du premier degré par rapport à dy1, +, dy, et l’on en tirera les valeurs de ces différentielles totales, si le déterminant de leurs coeficients est différent de zéro, comme on doit d’ailleurs le supposer.

On différentiera ensuite ces mêmes équations (7) par rapport à Lis 009 On Yo see Yms AY15 2. lYm, les différentielles des variables indépendantes étant prises constantes; on aura un système de m équations du premier degré par rapport à d°y1, .…, dy», que l’on résoudra par rapport à ces différentielles, et l’on aura ainsi les différentielles secondes des fonctions implicites; et ainsi de suite.

De ces différentielles totales on déduira immédiatement les dérivées partielles par le principe connu (464).

168. Si n se réduit à l'unité, ce qui a lieu quand le nombre total des variables ne surpasse celui des équations que d’une unité, il n’y a qu’une variable indépendante x, et une différentielle constante dx. Les opérations restent les mêmes, sauf que dy:, .…, dy» deviennent des différentielles ordinaires, et pour obtenir directement les dérivées de y1, .…., Ym par rapport à x, il sera plus commode de diviser chaque fois les équations par dx en même temps qu’on les différentie,

Exercices.