MAXIMA ET MINIMA DES FONCTIONS IMPLICITES

169. Les principes relatifs à ce problème ont été exposés aux chapitres VII et X, mais lorsque les fonctions ne sont pas données explicitement, le calcul se fait de différentes manières suivant les cas. Nous ne considérons iei que ceux où les fonctions et leurs dérivées satisfont aux conditions de continuité.

I. Soit y une fonction de x, définie par une équation F (x, y) — 0; il faut trouver les valeurs de x qui rendent cette fonction un maximum ou un minimum.

L’équation donne

OF dy TR dx” et la dérivée de y devant être nulle pour que y soit maximum ou minimum, on devra égaler à zéro la valeur de dy : dx fournie par cette équation. On cherchera les systèmes de valeurs de (x, y) qui vérifient à

la fois cette condition et l'équation F (x, y) — o, et on les substituera dans l'expression de d?y : dx? tirée de l'équation

ëF OF dy, dFdy® , dF dy dx T “Oxoyd dx V 0p de dy dx*

Le signe qu’elle prendra fera connaitre quelles sont les valeurs de x qui donnent un maximum pour y, quelles sont celles qui donnent un minimum.

Exemple. — Soit l'équation

4Yÿ$ — 3y + sin x — 0.

On en déduit

2 2 3 (4% — 1) T2 60 x — o, 3 (49° — a = sin & — 0. 4y* — 1 ne peut être infini, il faut donc poser cos x — o pour que dy soit nul ; de là sin « — Æ 1. La première hypothèse transforme l’équation donnée en 1m) UE0S

qui admet une racine simple y = — x et une racine double y — 1 : 2, mais cette derniére doit être écartée puisqu'elle annule D,F. On a d’ailleurs, quand dy = 0,

d?y sin x de 3(4ÿ— 1) ce qui, pour sin © = 1, y == — 1, devient égal à 1 : 9 > o; minimum. L'hypothèse sin & = — 1, combinée avec l’équation 4ÿ° —3y — 10, conduit à un système sin x = — 1, y — 1 qui rend la dérivée seconde

égale à — 1: 9, maximum.

En résumé, toutes les valeurs de x fournies par l'équation sin x — 1 correspondent à un minimum y = — 1, toutes les valeurs fournies par l'équation sin x = — 1, donnent un maximum y = 1.

4370.--11. Soit f (x, y) une fonction de deux variables, liées entr’elles par une équation

F(x,y)=0, en sorte que f, au fond, dépend de la seule variable x. Il faut trouver ses maxima et minima.

On égalera à zéro la dérivée complète de f par rapport à x, y étant considéré comme fonction de x, et l’on différentiera l’équation F (x, y) —0 pour en tirer dy : dx. On aura ainsi

of of dy OF dy DCE du M PR ru %

et en éliminant dy Of OF ofoF

— = = me ee

Ox 0y Odyodx

Cette nouvelle relation entre x et y, combinée avec la première, donnera les systèmes de valeurs de x, y pour lesquels f peut devenir maximum ou minimum, et l’on vérifiera s’il y a l’un ou l’autre, soit par

le signe de d?f, soit par les conditions mêmes du problème.

273. 1III. Considérons enfin le cas général où l’on cherche les maxima et les minima d’une fonction f (x, y, .….., u) — o de n variables liées

entr’elles par m équations