RAC
En AUS eu) 0;
de sorte que f est fonction de 7 — m variables indépendantes. D’après la théorie cxposée au N° 858, tout système de valeurs de ces variables qui rend f un maximum ou un minimum annule la différentielle totale df. D'autre part, les relations (1) entre les variables entrainent les équations dF;, —0, dF:= 0, …, dF, — 0, entre leurs différentielles. On devra
donc poser le système d’équations
do de dy + SE du — 0,
(2) Te + +. + du — 0,
D. si TL de aa CL +. + TT du = 0.
Si, entre ces m + 1 équations, on élimine les différentielles du, …
des m variables que l’on regarde comme dépendant des autres x, y, …
on aura une équation résultante
Pdx + Q dy + +. —
qui ne renfermera plus que les différentielles arbitraires dx, dy, …
qui, par suite, se décomposera en n — m autres (3) D==10) 00 ...0
et
Les équations (1) et (3) constituent un système de n équations entre n inconnues æ, y, …, u; les systèmes de valeurs qui vérifient simultanément (x) et (3) comprendront ceux qui satisfont au problème. Il restera à vérifier, par le signe de d?f, si ces systèmes correspondent réellement à un maximum ou à un minimum, à moins que la nature du problème ne dispense de cet examen.
272. L’élimination des différentielles dx, dy, ... du se fait d’une manière élégante et souvent commode par la méthode des multiplicateurs. Après avoir multiplié les équations dF, —0, …., dF, — 0 respectivement par des facteurs à déterminer À, .…, À,, on les ajoute membre à membre avec l'équation df — o, en ayant soin de grouper les termes en dx, les termes en dy, ete... On suppose ensuite que l’on dispose des m facteurs arbitraires A1, .…., Âm, de facon à faire évanouir les coefficients des différentielles du, .… que l’on regarde comme dépendantes ; il ne restera dans l'équation résultante que les termes affectés des différentielles indépendantes dx, dy, ..… et ces termes devront être égalés à zéro, comme on l'a vu plus haut.
Nous sommes done conduits à égaler à zéro, quoique pour des raisons différentes, les coefficients de toutes les différentielles, ce qui fournira les n équations
Of - 0F3 (5] A TA FRA de te A ln 0) of à, “+ F»
Se Aa C2 Àm — —= 5 (4) ou "ou art ay À an di
of. 2 Fr pr F7 DA .
Jointes aux m équations (r), ces » équations serviront à déterminer les valeurs des n quantités x, y, .…, u pour lesquelles f est un maximum ou un minimum, et les multiplicateurs As, Àe, «.., Âme
Les équations (4) sont les mêmes auxquelles on serait conduit en cherchant les maxima et minima de f+ MF +. HF, x, y, ...u étant traités comme variables indépendantes, À, …, À, comme constants.
La vérification du maximum ou du minimum de f se fait, comme on l’a vu, au moyen du signe de d?/, où l’on traitera dx, dy, ... comme des
arbitraires, et où les différentielles des variables dépendantes du, .., du, … seront remplacées par leurs valeurs tirées des équations dF; — 0, …. dEn = 0, d'F1 = 0, ...,d?F,, — o. Mais cette nouvelle élimination se fait aussi au moyen des multiplicateurs, car, d’une part, l’expression
(5) d?f + À dE, 4 cher: +- À G£ES
équivaut à d°f à cause des équations d°Fi — 0, d’F» — 0; d’autre part, le coefficient d’une différentielle d?u dans cette expression sera, d’après les règles de différentiation,
of OF; ES OF»
Lame — —— .. Un ?
ou FA du | | ou
c’est-à-dire zéro, en vertu des équations (4). Les différentielles du, … des variables dépendantes auront donc disparu dans la valeur de d°f mise sous la forme (5), et il suffit d'y remplacer x, y, ... uw par l’un des systèmes de valeurs fournis par les équations (4) pour reconnaître, par le signe qu’elle prendra, s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum de f. On remarque que l’expression (5) est encore la différentielle seconde de fi+ Fi +. L2,F,, prise dans la même hypothèse que ci-dessus.
Exercices.
4. Trouver la route que doit suivre un rayon lumineux pour aller d’un point À à un point B dans le moindre temps possible, ces points étant situés dans deux milieux distincts où les vitesses de la lumière sont respectivement # et v.
R. A’, B, étant (fig. 19) les projections des points À, B sur le plan de séparation MN des deux milieux, AA’ —=a, BB'—6, A'B'—c; x, y les angles respectifs du rayon incident et du rayon réfracté avec la normale au plan MN, la fonction qui doit être un minimum est
a b U COS X U COS Y LES Fig. 19.
x et y satisfaisant à la relation à tg x + b ta y —c. On trouve siNæ siny v
2. Par un point A dans un angle XOY, mener une droite dont la partie PQ interceptée par les côtés de l’angle soit un minimum.
R. Soient a, b les coordonnées du point A par rapport à OX, OY; x, y les angles aigus que fait la droite PQ avec les axes; on trouve
bcos x acos y
sinfæ sin?y ‘
Les perpendiculaires à OX en P, a OY en Q, à PQ en A, concourent en un même point.
8. Max. et min. de cos x cos y cos z, æ, y, z étant les trois angles d’un triangle.
R. On trouve æ — y = z, triangle équilatéral, min.; æ — 0, y = 0, z = 7, trois côtés en ligne droite, min.
4. Déterminer les axes de la section faite dans un ellipsoïde par un plan passant par le centre.
R. Si x, y, z sont les coordonnées du point de la surface où aboutit l’un des axes, l,m,n les cosinus directeurs de la normale au plan sécant, la fonction qui doit étre maximum ou minimum est
ra + y +2, les variables æ, y, z vérifiant les équations a? y 2?
75 PRE or 1, Lx + my +nz =0o.
La méthode des multiplicateurs donne
m y Z Eh 0, VASE Ann Dane br Er Ci multipliant par x, y, z et ajoutant, on trouve
r?L 4 =0, L—=— Fr, d’où la? mb? nc?
r? — a?? y — ds 2= 3 2
LT —)s pt ue 2 Far Sn Has t
d’où a?/3 bm? cn?
Deux valeurs pour 7? : ce sont les carrés des demi axes de la section. On a enfin P
a2l2 b2m°2 cn? — ne (52 a2)2 ay (r2 —b2}? + (r2 — ce)? 4
ce qui achève de déterminer le point (x, y, z) auquel aboutit le rayon maximum ou minimum.
