Û 2. DES QUANTITÉS IMAGINAIRES. APPLICATIONS

2. On appelle quantité ou expression imaginaire toute expression de la forme & + fi, « et 5 désignant des quantités réelles quelconques, ? le symbole Do Une telle expression n’a par clle-mêéme aucun sens et ne représente rien, mais à l’aide de certaines conventions, on introduit ces symboles dans l'analyse et l’on s’en sert pour abréger les calculs, ete.

Conventions. — 1° Deux quantités imaginaires sont dites égales lorsque les parties réelles d'une part, les coefficients de ? d’autre part, sont égaux

dans ces deux quantités. L’équation a+ Bio + Pi signifie done simplement que l’on a

2/ DRE as B ——— ( , en sorte qu’une équation imaginaire n’est que la représentation symbo-

lique de deux équations réelles.

om ‘ 2 Lorsque, dans l’expression « + fi, 6 se réduit à zéro, on admet que l'expression se réduit à «; ainsi les qualités imaginaires renferment

coinme cas particulier les quantités réelles.

5° L’Addition, la Soustraction, la Multiplication s'effectuent sur les imaginaires d’après les mêmes règles que sur les qualités réclles, en convenant de traiter ? comme une quantité dont le carré serait — r. Par exemple, en opérant d’après cette convention, on trouve

(cos a + à sin a )(cos b H 1 sin b) — cos (a +-b) + 1 sin (a + b),

Le À — +) —

c’est-à-dire qu'après avoir développé le premier membre par la multiplication algébrique, on trouvera des termes réels dont la somme est égale à cos (a - b), et un coefficient de à égal à sin (a+ b); ce qui fournit un moyen simple de retenir ces formules.

4° Deux quantités imaginaires sont conjugquées lorsqu'elles diffèrent seulement par le signe du coefficient de ?, comme x + fi et « — fi. Leur somme 2x, leur produit «? f5? sont réels.

Bo Diviser une quantité imaginaire «+ fi par une autre æ’ fÿ:, c’est trouver une troisième expression y—-02 qui, multipliée par la seconde conformément aux conventions ci-dessus, reproduise la première.

Go L'élévation aux puissances entières, fractionnaires ou négatives se définit encore comme pour les quantités réclles. Ainsi (x + Gi)", m étant entier positif, désigne le produit de m facteurs égaux à & + fi; (x + Gi)" est le quotient de l’unité par ce produit, ete...

3. Le principe des opérations sur les imaginaires est celui-ci : Si l’on combine entr'elles des quantités ou des équations imaginaires par addition, soustraction, multiplication, en se conformant aux conventions ci-dessus, les équations ainsi obtenues seront toujours rigoureusement exactes, dans le sens attaché à l'égalité des imaginaires, c’est-à-dire que chacune se dédoublera en deux équations réelles.

En effet, dans les quantités ou équations qu’il s’agit de combiner, remplacons d’abord # par un facteur réel indéterminé À, ce qui est permis d’après la définition de légalité des imaginaires. Faisons ensuite les opérations indiquées; nous aurons encore des équations exactes quel que soit À, ce qui exigera que les coefficients d’une même puissance de À soient égaux dans les deux membres de chacune d'elles. Cette égalité des coefficients subsistera si l’on remplace les puissances de À par tels symboles que l’on veut; par exemple, À, 2°, À5, Àf, À, … respectivement par è, — 1, — 1, + 1, 1, etc... Or, on trouve ainsi le résultat même auquel on serait arrivé en laissant d’abord 2 au lieu de À et opérant comme si ? était une quantité réelle ayant pour carré — 1. Donc, dans ces équations finales, les parties indépendantes de ? seront égales dans les deux membres, comme aussi les coefficients de 2; C. Q. F. D.

Le symbole 2 sert donc ici, uniquement, à maintenir séparées dans les opérations des quantités appartenant à des égalités distinctes.

Il est facile de conclure de là que les propriétés fondamentales des opérations primitives subsistent pour les quantités imaginaires; par

ET En

exemple, que l’ordre des facteurs d’un produit est indifférent, etc... 4. Toute expression imaginaire «+ {Si peut se mettre sous la forme très usitée r (cos 0 + # sin 6), r et 9 étant réels et r > o. En effet, il suffit de poser

NICOSV = 4 Pr SIDE, d’où

r—po+6f, c050—— ; sin 0 —Ÿ r "s

et comme ces valeurs de cos 8, sin 8 sont numériquement plus petites que l’unité et vérifient l’équation

sin? 0 + cos 0 — 1,

il existe un arc réel © qui, avec la valeur trouvée pour r, satisfait à la question. Il en existe même une infinité, car on peut augmenter 8 ou le diminuer d’un nombre quelconque de fois 27, sans changer les valeurs de sin 8, cos 0. |

Prenons «, 5 pour coordonnées rectangulaires d’un point M du plan; r, 0 seront ses coordonnées polaires. On dit que r est le module, 0 l’argument, le point M l'affixe de la quantité imaginaire « + fi. Les équations précédentes montrent que

1° L'égalité de deux expressions imaginaires entraîne celle de leurs modules ;

2° Leurs arguments ne peuvent différer que d’un nombre entier de circonférences ;

3° Toute quantité imaginaire s'annule en même temps que son module el réciproquement, car les égalités

ML 0 et = 0) 00 —0;

sont équivalentes, « et (5 étant réels.

4° Une quantité réelle a pour module sa valeur absolue, et pour argument un nombre pair ou impair de fois x, selon qu’elle est positive ou négalive ; car, si 6 est nul, on a

r= ai = Vo, : RTL MEET ral de

suivant que « est > ou < o.

5. Addition. — Soient r, r’,r'',... les modules; 0, 6, 07, ... les

ARR arguments respectifs de plusieurs quantités imaginaires; leur somme sera S— r (cos 0 + x sin 0) Lr’(cos 91 sin 0’) +... = r cos 0 Lr cos’ + 77’ cos 8”... Li(r sin d Lr’ sin 6’ + r”’ sin 0” + ...),

Portons bout à bout, à partir de l’origine des coordonnées, des longueurs OM, MM’, M'M’’, .… respectivement égales à r, r’, r’’, .… et inclinées sur l’axe des x positifs des angles 0; 0’, 0’, … L’extrémité P de la dernière droite aura pour coordonnées rectangulaires

r cos 0 Æ r’ cos 0 + r’’ cos 0 + ..., r sin 0 + r’ sin 0 + r’/ sin 0” +...

P est donc l’affixe de S; ses coordonnées polaires R et T sont donc respectivement le module et l'argument de la somme $. Il en résulte immédiatement que le module de la somme de plusieurs imaginaires est . inférieur ou tout au plus égal à la somme de leurs modules.

6. Multiplication et division. — D’après la définition de la multiplication des imaginaires ct la formule rappelée au n° 2 (5°),on a

r(cos0—Hisin0) Xr’(cos0 Hesin®’)—7rr’ [cos (9 +67) Lzisin (9-07)]. Multipliant les deux membres par une nouvelle imaginaire r”” (cos 9’ —- 3 sin 8’’), on aura de même r (cos 9 H à sin 0) X r’ (cos 8’ + 2 sin 0’) X r’’ (cos 0’ Lx sin 8’) = rr'r/ [cos (9 + 0 + 8) Li sin (6 +0 L6/)], et ainsi de suite. Donc le produit de plusieurs expressions imaginaires est une quantité imaginaire qui a pour module le produit de leurs modules, et pour argument la somme de leurs arguments.

Si l’on désigne par x le quotient de la division de r (cos 0 - + sin 0) par r’ (cos 0’ —E : sin 0’), on a, d’après la définition (2, bc),

x X r’ (cos 8’ E 3 sin 0’) = r (cos 0 + 2 sin 0).

Multiplions les deux membres par r : »’ ct par

cos 6” — à sin #'— cos (— 8’) + à sin (— 6’);

nous aurons, eu égard à la règle précédente, L3 LA LI 2 x (cos? 8’ + sin? 0’) — - [cos (9 — 0’) + à sin (0 — 0/)]. r

Donc r (cos 0 + 1 sin 6) h LR ee POS (OU 9 — 0")].

2 r (cos ÿ'Lisin p) 7 1cos (0 9) + sin ( COIER