ASYMPTOTES DES COURBES PLANES

486. On appelle asymptote d’une branche de courbe indéfinie, une droite telle que la distance à cette droite d’un point M qui s'éloigne indéfiniment sur la courbe ait pour limite zéro. Il existe aussi des asymp-

totes curvilignes dont nous ne parlerons pas ici. ER DO T TOUTE ne

Si la branche infinie admet une asymptote non parallèle à l’axe des y, l'équation de cette droite sera de la forme

k, l'étant des constantes; la différence entre l’ordonnée de la courbe ct celle de l’asymptote, pour un même x, aura pour limite zéro d’après la définition, lorsque x tendra vers + © si la branche est infinie du côté des x positifs. L’équation de eette branche pourra donc être mise sous la forme

(1) y—=hx ++,

V tendant vers zéro pour x infini. De là [HV lee

Ensuite, l'équation (1) donnant encore

y—kx=1l+4+N, d'où lim(y—kx)— |,

mr ; ne

puisque lim V = o, on conclut que les limites de y : x et de y — kx tirées de l'équation de la branche infinie donneront successivement les coeficients k et / de l’asymptote.

Réciproquement, si ce calcul conduit à des valeurs déterminées pour k et {, la courbe aura une asymptote y — kx + l, car les coordonnées (x, y) de la branche infinie vérifiant la condition

lim(y—kx) —{, d'où y—kx—l+v,

V tendant vers zéro lorsque x croit à l’infini, l'équation de cette branche sera

y=kx+l+N,

et sous cette forme, on voit que la courbe s'approche indéfiniment de la droite y = kx + {quand x croit indéfiniment.

Si la branche s’étendait à l'infini du côté des x négatifs, il faudrait chercher les limites de y : x et de y — kx pour x — — .

Cette méthode ne s'applique pas aux asymptotes parallèles à l’axe des y. On peut les trouver en permutant x et y dans l'équation de la courbe ct procédant comme plus haut.

Lorsque y a pour limite H æ ou — æ quand x tend vers une limite

finie a soit en croissant, soit en décroissant, on voit sans peine que x = 4 est une asymptote de la courbe.

187. Supposons que l'équation de la courbe soit algébrique, c’est-à-dire que le premier membre soit une fonction rationnelle et entière de x et de y; ou, plus généralement, qu’elle soit réductible à forme suivante, en posant y:X—u;

fu) Hama fi (u) Ha" À fe (u) + + — 0; m,m— a, m — f, … étant positifs et décroissants ; f(u), f1 (u), … des fonctions qui ne peuvent devenir infinies pour aucune valeur finie de u. Divisant l'équation par x”, nous aurons

(2) AOC THOE MEET

S'il y a une asymptote du côté x > o, il faut, en faisant croître x indéfiniment, que lim f(u) — o, et comme la limite de w est précisément le coefficient k, on trouvera les coefficients angulaires des asymptotes en résolvant l'équation