Cale^ diff. H

l6a CALCUL DIFFÉRENTIEL.

6 et X étant des nombres compris entre o et i . La substitution de ces valeurs donne

« iH 1-< ..H 7 tH

L 1 1.2. ..(/I — Ij 1.2. ../ij

dzS I h. ..H ^^ j r + ^ ^ =±7.

L I 1.2. ..(/I — l) 1.2. ../ij "

puiS| en multipliant par i • 2 . . . (ti — i), on a

jcx étant un entier. Comme on peut prendre le nombre n pair ou impair à volonté , on est maître du signe de ± ( — i)", et en adoptant le signe -h on aura

Cette égalité ne peut évidenmient avoir lieu, carie second membre est un nombre entier et le premier membre est une fraction positive qui peut être aussi petite que Ton veut; donc notre proposition se trouve établie.

Développement des fonctions cosj? et sinx en séries ordonnées suivant les puissances entières de x.

Ii4. Les dérivées d'ordre n des fonctions cosx et sinx sont respectivement

(«-f-Tï-jj sinfx-h/i-j

cos I X -f-

Tt étant la demi-circonférence dont le rayon est i . Ces dérivées restent donc finies quelle que soit la valeur que l'on attribue àx, et il en résulte (n** HO) que les fonctions cosx et sinx sont développables en séries convergenteSi quel que soit x^ par la formule de Maclaurin.