CHAPITRE y. l

Pour x=Oy les valeurs de la fonction cosx et de ses dérivées forment une suite périodique dont la période est

pareillement les valeurs de la fonction sinx et de ses dérivées forment une suite périodique dont la période est

On a donc, pour toutes les valeurs de x comprises entre

— 00 et -h 00 ,

X x* j,tw-+-l

(2) 8in:r=: -^ . , , f- ( . iji» j. ,

^ ' I I.2.i ^ ' I .2. . .(2m -h Ij

Pour avoir le reste de la série (i) arrêtée au terme de degré 2 m, on peut faire /i= 2 m -h 2 dans la première des formes générales de R^, et il vient alors

de même le reste de la série (2) arrêtée au terme de degré 2 m -h i sera

Si Tare x est compris entre zéro et -» et que Ton donne

à m les valeurs successives o, i, 2, 3, . . . , l'expression précédente de Rant+a ou de Ram+s sera alternativement positive et négative; il s'ensuit que, si l'on arrête la série (i) ou (2) au premier terme, au deuxième terme, etc., on aura une suite de valeurs alternativement plus grandes

et plus petites que cosx ou sln:r. Ainsi, en particulier.

cosj:<;i, cosj:'> i ? cosx*^^ i H 0—7»

sinjP'^j:, sin.r> -? sinx<; '■ — - -+-

Développement de la fonction log(i 4- or) e/i série ordonnée suivant les puissances entières de x.

115. On a, en désignant par la caractéristique log un logarithme népérien,

d log ( I -^ .r ) I

Ux i -\- X

et généralement

^ log f r H- .r)

Pour a: = 0, ces expressions se réduisent respectivement à I et ( — i)"~* 1 .2. . . (/2 — i), log(i -t- j?) s'annule; on a donc

(l) log(, +x)= ---- + -^-. .H- (-!)«-« -—^-R-

puis

(3) Rn-

(l-f-ex)"

siuionc le reste R^ tend vei*s zéro quand n tend vers l'infîni| on aura, par la formule de M aclaurin,

( 4 ) log ( I -H x) = ^ - ~ H- ?- - 1. + . . . .