CHAPITRE y, i

La série contenue dans cette formule n'est pas convergente lorsque la valeur absolue de x est supérieure à I, car le rapport du (/i H- i)>*"« terme au précédent,

savoir > tend vers la limite x quand n tend vers

rinfini. Ainsi la formule (4) ne peut subsister que pour les valeurs de x comprises entre — i et -H i .

Pour reconnaître si le reste R« tend vers zéro quand n tend vers Tinfîni, nous distinguerons deux cas, suivant que X est positif ou négatif.

1** Si l'on a x^o, nous emploierons la forme (2) du reste, savoir

lorsque x est <[ 1 , les deux facteurs - et ( r— j tendent Tun et l'autre vers zéro quand n augmente indéfiniment; dans le cas de x = 1, il se peut que le deuxième facteur ne décroisse pas indéfiniment, mais il reste toujours inférieur à i . Donc le reste R/j tend vers zéro et la Formule (4) ^ lieu.

a** Si l'on a X <^ o, nous emploierons la forme (3 ) du reste, et en posant x = — z\\ viendra

~l \i —Qz)

Lorsque z est <[ i , la valeur absolue du premier facteur

est toujours une quantité finie inférieure à -; — *, quant

au deuxième facteur, il est inférieur à z"" * , et par conséquent il tend vers zéro quand n tend vers l'infini. Donc la formule (4) a lieu pour les valeurs de x comprises entre o et — i . Dans le cas de x = — i , les deux membres de cette formule deviennent infinis (n^ 08).

l66 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On voit en résumé que la formule (4) subsiste pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et -h i .

Remarque. — Dans le cas de x positif, le reste R» a le signe de ( — i)""* et sa valeur absolue est moindre que

— j d'après la formule ( 2 ) ; ce reste peut donc se représenter encore par la formule

0 étant une quantité comprise entre o et i .

Dans le cas de x négatif et égal à — z, si Ton a z <^ i ,

— R,i est le produit de deux facteurs positifs qui sont

respectivement inférieurs à et z"""*; on peut donc

écrire

R„= ■ r ou R„ = (-i)

0 étant toujours une quantité comprise entre o et i.

Ainsi Ton a, en désignant ici par x une quantité comprise entre o et i, et par 0, ff deux quantités également comprises entre o et i .

log(i -{-x) = X —

log(i — ar) = — « —

Formules relatives au calcul des logarithmes,

116. Cài.cul des logarithmes ifÉPÊRiERS. — La quantité X étant comprise entre o et i , on a les deux formules

.T .r* jr' .r*

(a) log(.-*) = - , ^ 3 ^