MonuLE DES logàhithmes vulgaires. — On a
^lOf X -- j QlOf TOlf X^
puisque chacune de ces expressions est la valeur de x ; en
l68 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
prenant les logarithmes népériens de part et d'autre, on a
logo: = log vulgj? X logio»
ety en faisant
^ ' log I o
il vient
log vulga: zn Xogx X M.
Ainsi l'on obtiendra les logarithmes vulgaires en multipliant les logarithmes népériens par le nombre constant M qu'on nomme module des logarithmes.
Les formules du numéro précédent fournissent le moyen de calculer M; d'abord la formule (7) donne, pour N = I ,
(9) log. = .(l+3^. + ^.+ J.-,+^-^...); la formule (5) donne ensuite, en faisant N =1:= 8, A = 2,
(.0) log,0 = 31«g2+2(i+^, + ^.
et l'on a, en conséquence, par les formules (8), (9), (10),
Les séries qui figurent dans cette formule sont suffisamment convergentes; mais on peut en obtenir une infinité d'autres, dans lesquelles les termes décroissent plus rapidement. Par exemple, si Ton fait, dans la formule (5), N = 4o96 = 2*2, A=4> d'où N-f-/i = 4ioo, et, dans la formule (7), N = 4o = a* X 10, il viendra
l0g4H-2l0gI0=:l2l0g2 H- 2 ( j- + r y— -h . . . U
log4i=Iogio-+-2loga + 2^^ H- 3-^-+"---)»
CHAPITHB V. 169
en éliminant log4i et loga entre ces équations et Téqualion (10), il vient
Si Ton calcule chaque terme de la formule (11) ou de la formule (la) avec vingt-huit décimales, de manière à
pouvoir en conserver vingt-cinq dans les valeurs de —
et de M, on trouvera
118. Calccl des logarithmes vulgaihes. — Les formules (4) et (5} s'appliqueront aux logarithmes vulgaires, si Ton multiplie leurs seconds membres par le module M. On a donc
^^^^ j log(N-^-;i)-logN..M [^ ^ -. 3^ -. . .],
( log(N-H.;-logN..M[^-^^ + 3-1-^, +...} et, en faisant A ==: i ,
log(N-M)-IogN=M [i-,-^-^-3-;-3 --...}
log(N-f-i)~logN^-2M — i— -h ^—^ -3 -J-... .
Le module M étant connu, on pourra faire usage des formules (i5) et (16) pour le calcul des logarithmes vulgaires.
170 calcul différentiel.
119. Remarque sur l'emploi des Tables db logarithmes. — Quand on fait usage des Tables de logarithmes, on suppose que les petits accroissements des nombres sont proportionnels aux accroissements correspondants de leurs logarithmes. Nous allons établir que cette proportionnalité peut être admise pour l'approximation qu'on prétend obtenir. A cet efTety reprenons la formule
log ( I -+- X ) = j: )
obtenue au n^ 115, et dans laquelle x désigne un nombre donné compris entre o et i , 0 une quantité positive inférieure à I . Multiplions le second membre par le module M afin de passer aux logarithmes vulgaires, et remplaçons x
par—) il viendra
(17) log(N+A)-logN = M(^-^.)5
on aura aussi, en faisant A = i et en écrivant & au lieu deO,
(i8) log(N-f.i)~logN.-M(i-^,).
Posons
log(N-+-^) — logN= A, log;N-M) — logNrz. D,
puis
(19) A = /iD-:-f, A=j^-Mï,
e sera l'erreur eommise dans le calcul du logarithme de N + A, au moyen des tables, et en admettant la proportion
CHAVITRE V. 171
pareillement m sera Terreur commise dans le calcul d'un nombre dont le logarithme est donné, quand on fait usage de la même proportion.
Si l'on remplace, dans les formules (19), A et D par les valeurs tirées des formules (17) et (18), il viendra
or hf 6, ff sont compris entre o et i et M est <^ - ; on a donc
±i eldzfi étant les valeurs absolues de 8 et vj. On voit que, si N est supérieur à loooo, l'erreurzbe est moindre que le quart d'une unité du huitième ordre décimal^ pa-
=niî
reillement l'erreur relative -rr- est moindre qu'une demi-
unité du huitième ordre décimal. Donc l'emploi de la proportion (20) est légitime quand on se borne à sept figures, soit qu'il s'agisse de calculer le logarithme d'un nombre donné, soit qu'on veuille au contraire calculer le nombre qui répond à un logarithme donné.
Formule du binôme.
120. L'expression (a -f- ft )"* est susceptible de plusieurs valeurs, excepté dans le cas où m est égal à un nombre entier positif ou négatif. Mais, si a -h A est positive, l'une de ces valeurs est réelle et positive : c'est la seule que nous
considérons. Si l'on pose - =Xy notre expression sera le
produit de a"* par (i-hx)'"; cette dernière fonction est celle dont nous avons à nous occuper et* que nous nous proposons de développer en série ordonnée suivant les
l'y 2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
puissances entières de x. On a ,
d'^ll -f- .r)'«
\f^n =/»(/» — l)...(/W — il-M}(l-kx)in-»;
cette dérivée se réduit à
m{m — i)...(ro — «-4-i) pour x.= o; par conséquent on a
