CHAPITRE V

contraire, les valeurs absolues des termes de la série croissent constamment à partir d'une certaine limite.

Nous supposerons d'abord x comprise entre o et i; alors on a, en employant la forme (2) du reste,

[mx m- \x [m — 'X^x [m—n'-\^x'\ i

La quantité entre crochets tend vers zéro quand n tend vers l'infini; en effet, quand n augmente de i , elle acquiert

le facteur — x[\ ) qui tend vers la limite — x^

lorsque n augmente indéfiniment. Il s'ensuit que la quantité dont nous parlons est un produit dans lequel les facteurs plus grands que i , en valeur absolue, sont en nombre limité, tandis que le nombre de ceux dont la valeur absolue est inférieure à i et même inférieure à une quantité quelconque comprise entre j: et ï peut devenir plus grand

que tout nombre donné. Quant au facteur - ,^,^^^?

il peut avoir l'unité pour limite, si la limite de ô est nulle, mais en aucun cas il ne surpassera l'unité. Il résulte de là que,Rn tend vers zéro, si x est positive et inférieure à I, et, dans ce cas, la formule (4) a lieu.

Supposons maintenant que x soit comprise entre o et — i; nous poserons a: = — z et nous emploierons ici la forme (3) du reste. On a

Lorsque n tend vers l'infini, le facteur entre crochets tend vers zéro, ainsi qu'on l'a vu dans le cas précédent. Quant

au facteur mz[\ — 9z )'"""* • ( j > il tendra aussi

vers zéro, à moins que la limite de 9 ne soit zéro; mais alors sa valeur sera finie et égale au plus à mz. Il résulte

de là que R^ tend vers zéro ; et en conséquence la formule (4) subsiste pour les valeurs de x comprises entre o et — I.

121. L'analyse précédente montre que la formule (4) a lieu pour les valeurs de x comprises entre — i et 4- 1 ; mais elle n'apprend rien à l'égard des valeurs limites — I et 4- I . Abel a démontré que, si une série ordonnée suivant les puissances entières positives d'une variable x est convergente, lorsqu'on attribue à cette variable la valeur a:i, la même série est aussi convergente pour tout nombre x dont la valeur numérique est inférieure à celle de x^ ; en outre, si s représente la somme de la série relative à la valeur x et s^ celle de la série relative à la valeur x^ , s tend vers s^ lorsque x tend vers x^ . La formule (4) subsiste donc, pour les valeurs limites — i et 4- 1 , pourvu que la série du second membre reste convergente; il est facile de déterminer dans quels cas cette convergence persiste. Lorsque j? = ±i, le rapport du (/i-hi)**°* terme de la série (4) au /i"°** terme est

-p [ I 1 5 donc, si w 4- I estun nombre négatif,

les valeurs absolues des termes seront constamment croissantes et la série sera divergente ; ainsi nous devons supposer m 4- I positif.

Désignons par Un. la valeur absolue du w^*"*' terme de la série (4) dans l'hypothèse de a:=zfci, et par |/« le ^lème ^erme de la série

on aura