CHAPITRE V

La formule du binôme est applicable à la fonction ( 1 H — ) ; en se bornant à deux termes on a

çVm j __ ^-M ^ (/w-f-i)(m-<-2) / ^ ^\ v^ n 2/1' \ n/

et, comme (m+i) est positif, on aura

> ou <Z, — •

Soit, pour une certaine valeur de n,

— = A ou «n = AH»»,

on aura

or la série

(5) ^fo, ^«'1, ^♦'i, . . •

est convergente quand m est positif (n° 98); donc la série

''0» ''il "î» • • •»

est aussi convergente.. Ainsi, dans le cas de m^o, la formule (4) subsiste pour j: = zt i, et Ton a

6 2'"=H 1 ^^ iH i ^^^ ^-f-...,

Lorsque m est négatif, le premier membre de la formule (4) est infini pour x = — i, et la série du second membre est toujours divergente. Mais cette série est convergente pour j: = 4- I si m est compris entre o et — i , et en conséquence la formule (6) subsiste pour ces va-

176 CALCUL DIFFÉREKTIEL.

leurs de m. En effet, les termes de la série (6) sont alternativement positifs et négatifs dans notre hypothèse, et leurs valeurs absolues décroissent indéfiniment, puisque ces valeurs sont respectivement moindres, à partir d*un certain rang, que les termes correspondants de la série (5).

Dés^eloppement de la fonction f[x -\- h) en série or— donnée suii^ant les puissances de A, dans les cas oh la formule de Taylor iHa pas lieu.

1 22. Si la fonction f{x) ou quelqu'une de ses dérivées devient discontinue quand la variable x atteint la valeur particulière a:©, la quantitéy(xo 4- /i) ne peut plus être développée, par la formule de Taylor, en série ordonnée suivant les puissances entières et positives de A. Mais, si Ton admet des puissances négatives ou fractionnaires de A, il peut arriver quey( x© -I- h) soit encore développable en une série convergente; dans ce cas, on calcule successivement, comme nous allons l'indiquer, les divers termes de la série.

Si la fonction^ (x) a une valeur finie A différente de zéro, pour x =^ Xq, et qu'elle soit continue pour les valeurs de X comprises entre Xq et Xq -H A, on aura

6 désignant une quantité qui s'annule avec h,

La fonction f{x) étant toujours continue de Xo à Xo -+- A, supposons qu'elle s'annule pour x = Xq et que, A étant pris pour l'infiniment petit principal, on puisse trouver un nombre positif ti, entier ou fractionnaire, qui représente l'ordre infinitésimal dey*(xo-+- A). On aura, dans cette hypothèse,

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A étant une quantité finie différente de zéro, et par conséquent on aura aussi, en désignant par e un infiniment petit,

(2) /(xo4-A)=A»(A-l-.).

Enfin, si la fonction y*(x) devient infinie pour x= Xo et que Ton puisse trouver un nombre positif m qui exprime

l'ordre infinitésimal def{xo'hh) relativement à t> de manière que l'on ait

A étant une quantité finie différente de zéro, on aura

formule où c désigne toujours an infiniment petit.

La formule (a) comprend la formule (3) quand on at^ tribue au nombre n la valeur négative — m; elle comprend aussi la formule (i) si l'on admet pour n la valeur zéro. Ainsi, dans les trois cas que nous avons examinés, on a, en écrivant x au lieu de Xo -H h,

n étant un nombre positif nul ou négatif et^i (x) une fonction qui, pour x=sXo, prend une valeur finie A différente de zéro. La fonction

s'annulant pour x = Xo> si l'on peut trouver un nombre positif 7Zi — n qui exprime son ordre infinitésimal relatif vement à h = x — Xo, on aura de même