Lorsqu'une fonction se présente sous une forme

fractionnaire ^r^, il peut arriver que le numérateur et

r ixj

CHAPITKE y. l8l

le dénominateur s'annulent simultanément ou deviennent infinis pour une valeur particulière x^ de x. Il s'agit alors de déterminer la véritable valeur de la fonction, et l'on peut y parvenir dans des cas nombreux, au moyen du théorème suivant :

Théorème. — Si les deux fonctions f[x) et F(x) tendent l'une et l'autre vers zéro ou vers Vinjîni, quand x tend vers la limite Xq, et que les dériifées de ces fonctions soient déterminées, les rapports

JM llfl

tendront vers une même limite déterminée, quand on fera tendre x vers x©, ou ils croîtront l'un et l'autre au delà de toute limite.

1° Supposons que l'on aity(a:o) = o, F(j:o) = o« ^^ peut toujours trouver une quantité h assez petite pour que F'[x) ne soit ni nulle ni infinie quand x varie entre Xq et XQ-hh^ si ce n'est pour x = Xo; alors on aura (n? 14)

Vix.-hh) F'(Xo-f.^,)*

La quantité h^ est. comprise entre o et hy elle s'annule donc avec A, et par conséquent on a

il peut arriver que le rapport jè-4 croisse au delà de

toute limite, et, dans ce cas, le rapport ■ ,. ' croîtra aussi

au delà de toute limite.

Ce résultat subsiste quelque grande que soit la quan-

tilé Xo, et par conséquent il a Heu pour Xp = « . Mais, comme la formule qui a servi de point de départ suppose que Xq désigne une valeur finie, il n'est pas hors de propos d'examiner à part le cas de Xo = oo . En fid-

sant a: = -9 on a

Si X tend vers Finfîni, z tendra vers zéro, et l'on aura

"" ni) ->lî)

ou, en remettant x au lieu de -)

lim ~ — ■• = lim — ri — r pour ^ = gd •

2** Supposons que Ton aity(j:o) = «> , F(a:o)=QO^ Xq étant une quantité finie ou infinie. On peut écrire

/(x)LfwJ

et, puisque les fonctions ^tt — r» -77 — ? s'annulent ponr x = Xq, on aura, par ce qui précède,

[n-)i [/ifïY

chàpithe V. i83

Si • , ^ tend vers une limite finie A difTérente de zéro,

la formule précédente deviendra

¥'{x} et, par conséquent, on a

La même conclusion subsiste quand A= o. En effet, dans ce cas, si Ton désigne par C une constante quelconque, la fonction

tendra vers la limite G quand x tendra vers Xq, et, comme C n^est pas nulle, on aura'

OU, en retranchant C de chaque membre,

Enfin, si le rapport : . croît au delà de toute limite quand a: tend vers x©, le rapport inverse -j: — r tendra vers la limite zéro; donc ; ( tendra aussi vers zéro, et, en conséquence, •) croîtra au delà de toute limite.

G>ROLLAiaE. — Si les fonctions f{x) et F(x) sont

l84 CALCUL DIFFÉREUTIEL.

simultanément nulles ou infinies pour x = x^j ainsi que leurs dériv^ées jusqu'à celle de l'ordre n — i inclusii^e^ ment, en sorte que la d-ériuée d'ordre n de l'une des /onctions au moins ait une valeur finie différente de zéro, on aura pour x = Xq^