CHAPITRE T

leurs dérivées du premier ordre,

les dérivées du deuxième ordre sont

elles se réduisent à a et i pour x = i ; donc la fraction proposée tend vers la limite a quand a: tend vers Tunité.

4° Soit la fraction ~j a étant une constante positive

et n un nombre entier positif. Les deux termes de cette fraction sont infinis pour x = oo ; d'ailleurs le rapport des dérivées d'ordre n des fonctions a* et x" est

et il devient infini en même temps que x; par conséquent, la fonction — tend elle-même vers l'infini, quel que soitra, quand x tend vers l'infini.

126. Il existe des fonctions qui deviennent indéterminées pour des valeurs particulières de la variable. Telles sont, par exemple, les fonctions sinx, cos.r, dont les valeurs sont indéterminées pour a: = oo . Il peut arriver aussi qu'une fonction dont la valeur est déterminée pour X = Xq ait une dérivée indéterminée ; ainsi les fonctions x-|- cos x, x + sinx deviennent infinies avecx, mais leurs dérivées i — sinx, i-i- cosx sont indéterminées. Si donc on fait

cos.r

ri \ ï^

/.r) X -h cosx X

Fixl x-i-fiinx sinj?

l86 CALCUL DIFFÉEEirTZEL.

on aura

hm -, =J, pour a: = 00,

tandis que la limite du rapport "L^ ': est indéterminée.

Ce résultat n'est point en contradiction avec le théorème du n° 124, car celui-ci suppose essentiellement que les fonctions y (x) etF(x) aient des dérivées déterminées.