Le théorème du n^ 124 ramène la recherche de la

valeur que prend r^. — r pour j: = Xo à celle de la valeur

que prend, dans les mêmes circonstances, la nouvelle

fonction '' • Mais il peut arriver que cette réduction

n'ait point d'avantage et que la seconde fonction offre les mêmes difficultés que la première.

La solution de la question qu'il s'agit de résoudre s'obtiendra sans difficulté, si les fonctions /* (^o "+" ^)> F(xo-t- A) sont développables en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes positives ou négatives, entières ou fractionnaires de h. Dans ce cas, il suffira de calculer le premier terme A/i" de la première série, ainsi que le premier terme B/i'^ de la seconde, car on aura

/(a:o-4-A)=A«(A-f-«), e et Yi étant infiniment petits en même temps que h, puis

F(xo + /i) B-hn

Si n est égal à m, on aura