Exemple I. — Considérons la fonction fractionnaire

/(.g) yG — y/x^ -h >/x — jTq ^

les deux fonctionsy(x), F(x) s'annulent pour x = Xq9 et il est aisé de reconnaître que leurs dérivées de tous les ordres sont infinies pour x = Xq. Si l'on fait x = a*© H" A> et qu'on prenne' A pour infiniment petit principal,

^x — Xq = ^ sera un infiniment petit d'ordre - 5 au contraire ^x — ^jTq ou \/xl \/ H 1 I est un infiniment petit du premier ordre, ainsi qu'on s'en assure en faisant usage de la formule du binôme. On a donc

e étant un infiniment petit. Le dénominateur F[x) est ^x — Xq^X'\-Xq = y/A^axo-H a, et Ton a

1] étant un infiniment petit ; donc

Z(fo±Al - J.±1, lunlM^

F(^o -+->*) y/'^Xg-hv F(*) \/2x^

i29. Exemple IL — Soit la fonction

ar — - smo: — - tango?

et cherchons sa valeur pour a: = o. Si l'on multiplie par

l88 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

3 cos j: ses deux termes, elle deviendra

y(«) Sxcosx — sinar — sin2:r^ F(x) 3jf*cosx '

en remplaçant cosx, sinx et sina j: par leurs dévelop* pements en séries, on trouve

8ar» 32.

d'où

on en conclut

hm -r- — - =

130. L'analyse que nous venons de développer embrasse le cas d'une fonction égale à un produity(j:) F(x) de deux facteurs, dont l'un est nul et l'autre infini pour x=Xq. On a efiectivement

et la forme de la fonction est ainsi celle d'une fraction dont les termes deviennent nuls ou infinis pour x=^Xq. Enfin on ramène immédiatement au cas précédent celui d'une fonction^ de la forme

u et i^ étant des fonctions de x qui, pour x = Xq, se réduisent à