Exemple. — Cherchons la valeur de x' pour x= o. On a

logx*= « logx = — ^ 9

donc

lim logx* == lim = — lim^c = o.

Le logarithme de x' tend donc vers zéro, et par conséquent x* tend vers l'unité.

Représentation des fonctions e^ et logx par des limites de fonctions algébriques,

132. Soient x une quantité déterminée et m une variable. On peut obtenir, par les règles précédentes, la valeur que prend l'expression

ipO CALCUL DIFFÉBEUTICI..

pour m = (X) . On a effectivemeat

La limite de cette expression, pour m = oo , s'obtiendra en prenant le quotient des dérivées des fonctions

logfiH 11- par rapport à m et en cherchant la

limite de ce quotient. On a ainsi

lim log ( IH I =lim r-~ =lim

= jf.

tf*=lim f Iv4- — ) pour m = 00;

et, par conséquent, la fonction transcendante e^ est la limite d'une expression qui reste algébrique et même entière, si le nombre m tend vers l'infini, en ne prenant que des valeurs entières. On peut écrire aussi

en désignant par e une quantité infiniment petite avec -^^ On tire de cette formule (i)

or on a d'où

wr~z 'M

m yjer^ — s = /w v e^ H- ij,

CHÀPITRS y. xpx

m étant nn infiniment petit : donc

et si Ton écrit a: au lieu de e^^ logo: au lieu de x, il viendra

{2) loga:=r/7i(VjP — 0 + «>

logj: = limm('v'j: — i) poiirin=OD;

par conséquent la fonction transcendante log x est aussi la limite d'une fonction algébrique de la variable x*

Extension des formules de Taylor et de Maclaurin aux fonctions de plusieurs variables.