Soit

une fonction de invariables indépendantes a:, j^, ^, . . ., Nous nous proposons de développer la fonction

en série ordonnée par rapport aux accroissements A,

h, Ij .La quantité u -f- Au est la valeur que prend,

pour t = I , la fonction de t suivante :

U = F(ar H- Ar, j'- H- kt, z -4- It, ... ),

qu'on obtient en remplaçant h, k, l,... par ht, ht, It,... respectivement dans l'expression de u+Au; donc, pour résoudre la question proposée, il suffira de développer U en série ordonnée par rapport aux puissances de ty d'après la formule de Maclaurin, et de faire ensuite t = i dans le résultat.

Si l'on pose

Ipa CALCUL DIFFÉRENTIEL.

on aura

d'où

■ , du ^ dV ^ du ^

dç On aÇ

puis comme Ç, y3, ^, ... sont des fonctions linéaires de la variable indépendante ty on aura symboliquement (65), quel que soit/z.

On a d^ = hdty dm =kdty dl^=.ldt, ...; donc ^«U /^dU , du ,dU \«

<//'* V dS dïî

du \

j du du . .

et, à cause de -^- = -r- » • • • ? on peut écrire

ai ôx ^

r/«U /^dU , du ,dU X»

^/'* \ dx dy dz j

Pour i = o, on a

et la formule précédente se réduit à

d^U i\du , dii ,du y

Par conséquent la formule de Maclaurin appliquée à la fonction U donnera

, ^ f^àu .du , du \

\\ ox oy dz I

^^ / , du .du du

i ,2\ dx dy dz

*""* (i au , du du X»-» ^

i.a...(7a — i) \ dx djr dz }