dx ôjr ôz ] j,^^ia^ j^i,t

les indices x-^-Ohtyj -^ Okty z-^-dlty.,. indiquant qu'il faut remplacer a:, j^, z,... parx-f-ô/ii,^+0At, z+Blt^ ..•. Si maintenant on fait t = i , on aura

/, du .du du \

[h— -+-^T- -hZ-r- -*-••• ' \ ôx or OZ /

f , du , du , dtt \ d.r dr dz

f^ du ^ du du \ dx dy OZ

I f , du ,du ,du \ «

^ ^ ** i.2.../ï\ dx dr dz /x+»A,y+J*,,+e/,...

Par exemple, dans le cas d'une fonction ¥{x,j) de deux variables, on aura

1 /,„ ,d''-*F n — j^^ ,^ d«->F . .d^-^FX

i.2...(/i— i) \ dx«-* I dx'*-*d7 dy-^J

et l'expression du reste sera

i.2.,./iV (^^^ I dx^-^dy dj-^ J jc^^h, y-^k.

s. — Cale, diff, i3

ig4 CALCUL DIKFÉREIfTIEL.

Lorsque le reste R;, tend vers zéro, quand /z augmente indéfiniment, la formule (i) donne celle de Ta^lor étendue au cas des fonctions de plusieurs variables, savoir :

, du .du du

ox OY àz Au ^

^ ^ ' , au , du au Y

\ dx djr dz I

Or, Xj jy Zy ... étant des variables indépendantes, on a

, .du , du du

dx dx oz '

et, symboliquement,

.- ( i au ^ du au \ '*

\ dx dx dz / '

donc la formule (3) peut s'écrire , ,. du d^u d^u

et elle a la même forme (108) que dans le cas d'une seule variable.

134. Si Ton se reporte aux conditions que suppose la formule de Maclaurin dans le cas d'une seule variable, on reconnaîtra que notre formule (i) exige que la fonction u et ses dérivées partielles, jusqu'à celles de l'ordre n — I, soient continues relativement à chacune des variables, tant que celles-ci restent comprises respectivement entre x et x-\-hj y et j'-+-Ar, z et z-hfj ...; elle exige en outre que les dérivées partielles de l'ordre n soient déterminées.

CHAPITHE T. 195

Lorsque les accroissements hj k, l, ... sont infiniment petits et que leurs rapports demeurent indéterminés, le rapport du reste au terme auquel on s'arrête est infiniment petit y pourvu que ce dernier terme ne soit pas identiquement nul. En effet, les dérivées partielles de u étant supposées continues jusqu'à celles de Tordre n — i inclusivementy on a

en désignant par rf'""* u ce que devient la différentielle rf""* u quand on remplace x, j-j z, . . . par x -+- fl A, jr-i-Ok, z-hOlj ... ; d'ailleurs on a aussi