i — l) donc

et le second membre de cette formule s'annule avec A, kf l, ... tant que les limites des rapports de ces infiniment petits à l'un d'eux restent indéterminées et que d'^'*u ne se réduit pas identiquement à zéro.

Il résulte de là que, si des valeurs absolues de saccroi»sements A, Âr, /, . . . sont suffisamment petites, la valeur absolue de R^ sera inférieure à la valeur absolue du der-

mer terme •

135. Maintenant, pour avoir la formule de Maclaurin étendue aux fonctions de plusieurs variables, supposons x, /, Zf ... nulles dans les formules (ij et (a), puis écrivons ensuite a:,^,^,... au lieu de A, Xr, /,.... Exprimons enfin parle moyen de l'indice zéro que x^j^, z, ... doivent être

ig6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

remplacés par zéro dans une fonction quelconque, et par l'indice Ô que les mêmes variables doivent être remplacées par dxj Bjy Qzj ...; on aura

du\ /da\ /du\

et

16) R»= 7XT.['(£),-^-^(|). -^'(s-"),--]'*

Théorème relatif aux fonctions homogènes.

136. Le théorème que j'ai en vue a été déjà démontré au n° 84; mais, comme il a une haute importance, il ne sera pas inutile d'en présenter ici une démonstration

nouvelle.

Soit

une fonction homogène du degré /z des variablesx,j^,z,.... Si l'on multiplie toutes ces variables par le facteur i H- «, la fonction se trouvera multipliée par (i-H«)« et l'on aura (84)

Développons les deux membres de cette formule en série