Exemples. — i^ Considérons en premier lieu la fonction

on a ici

la dérivée f*{x) s'annule pour j: = - et elle passe du

positif au négatif quand x croît de e à — hs; donc

la fonction y*(x) va d'abord en croissant et elle décroît ensuite; par conséquent^ eUe passe par un maximum

quand x devient égale à -; la valeur maxima de la fonotion est y

a^ Considérons en second lieu la fonction on a

La dérivée f'{x) ne s'annule que pour x = 00 ; mais elle devient discontinue en passant par l'infini, pour x = ût, et il est évident que cette valeur a répond à un minimum de la fonctiony(x).

139. La formule de Taylor conduit au résultat qui précède, et elle permet en outre de le compléter. Nous supposerons ici que les dérivées que nous aurons à considérer restent continues entre des limites voisines des

aOO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

valeurs qui répondent aux maxima et aux minîma ; les cas de discontinuité doivent être examinés à part, dans chaque question particulière.

Nous désignons parR^, comme nous l'avons fait dans le Chapitre précédent, le reste de la série de Taylor correspondant au terme de rang /i, et nous rappellerons qu'on peut toujours supposer l'accroissement h de la variable x assez petit en valeur absolue pour que la valeur absolue du reste soit moindre que celle du dernier terme, quand celui-ci ne se réduit pas à zéro (409).

Cela posé, soity*(a:) la fonction donnée, on a

donc, s\f[xo) n'est pas nulle, la différence

/f:ro-+-/i)-/(xo)

changera de signe avec A, et la valeur y*(aro) ne sera ni un maximum ni un minimum. Supposons donc

alors on aura, par la formule de Taylor,

et le premier membre aura le signe dey''(xo ) pour toutes les valeurs de h comprises entre — e et -}-e, e étant suffisamment petit; doncy*(a:o) sera une valeur maxima ou une valeur minima, suivant que l'on aura

/"(^o)<o ou r[x,)>o.

Mais si l'on a

la formule (a) ne nous apprend plus rien.