CHAPITRE TI

Supposons généralement que Ton ait

et que la /!**"• dérivée f^'^\x) ne s'annule pas pour x = Xq, Alors la formule de Taylor donnera

Cette formule (3) nous montre que, si n est impair, la diirérence/(xoH-A) — /{xq) changera de signe avec A, et, par conséquent, il n'y aura ni maximum ni minimum pour x = Xo, Au contraire, si n est impair, la même différence conservera le signe dey^'''(xo) quand A passera du négatif au positif, et, dans ce cas,/(xo) sera maximum ou minimum suivant que Ton aura

/^"H-^oXo ou /(»)(aro)>o.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Pour que la fonction/ (pc) ait une valeur niaxima ou minima répondant à la valeur Xo de x, il faut et il suffit que la première des dérivées def{x) qui ne s' annulent pas pour x=Xo soit d^ ordre pair. Alors, il y a maximum ou minimum, suivant que la valeur de cette dérii^ée pour x = Xo est négatis^e ou positii^e.

Application à quelques exemples,