CHAPITRE YI
tîon^ devient maxima pour
ma
ao3
na
ce qui donne
dr
La dérivée -j- s'annule aussi pour a: = o si m est >• i,
et pour x = a si n est [> i. Mais, en s' annulant, elle ne change de signe que si l'exposant m ou n est pair; elle passe alors du négatif au positif. La fonction y est donc minima pour x = o, quand m est pair, et pour X=^ay quand n est pair.
142. Exemple III (Pboblèmb de Fermât). — Deux milieux étant séparés par un plan P, on demande le chemin que doit suivre un mobile pour aller ^ dans le temps le plus court y d'un point donné A dupremier mi" lieu à un point donné B du second. Le mobile se meut dans le premier milieu auec la vitesse constante u, et dans le second milieu as^ec la vitesse constante v»
Le chemin demandé se compose de deux lignes droites, puisque l'espace parcouru par le mobile, dans l'un ou l'autre milieu, est proportionnel au temps* employé. En outre, ce chemin est situé dans le plan ACDB mené per-
ao4 CALCUL DIFFÉRElfTIEL.
pendiculairementauplan P par les points donnés A et B et qui coupe celui-ci suivant la ligne CD ; en effet, considérons la ligne brisée AGB, située hors du plan ACDB, et du point G où elle rencontre le plan P, abaissons GL perpendiculaire sur CD, les droites AL et LB seront respectivement moindres que AG et GB ; par conséquent, le temps pour suivre le chemin ALB sera moindre que le temps nécessaire pour aller de A en B par le chemin AGB.
Cela posé, désignons par a et b les perpendiculaires AC, BD abaissées des points A et B sur le plan P, par c la distance CD et par x la distance du point C à un point quelconque H de CD ; on aura
AH = yjx'^ 4- a^ , BII r:^ v^(c—x)«-t-6' ;
donc le temps t que le mobile emploiera pour aller de A en B, par le chemin AHB, sera
telle est la fonction de x dont on demande le minimum. Il est évident que la question ne comporte pas de maximum.
En égalant à zéro la dérivée de la fonction (, il vient
, , I X I c JC
ou, en faisant disparaître les radicaux,
ainsi l'inconnue x dépend d'une équation du quatrième degré. Mais, sans résoudre cette équation, on peut obtenir comme il suk la propriété géométrique qui caractérise la ligne demandée. A cet effet, menons la ligne Kl per-
GHÀPITILB YI.
ao5
pendiculaire en H au plan P ; désignons par i Tangle AHK et par /* Tangle IHB, on aura
DH
