CH X
et, par conséquent, l'équation (2), qui exprime la condition du minimum, deviendra
sin i H sinr c
Il résulte de là que le sinus de l'angle d'incidence i est au sinus de l'angle de réfraction r dans le rapport des vitesses u et i/ avec lesquelles le mobile peut se mouvoir dans le premier et dans le second milieu, respectivement.
143. Exemple IV. — Tromper les maxima et les minima de la distance d^un point donné à une courbe donnée.
Désignons par Xo et j^ les coordonnées du point donné relatives à deux axes rectangulaires ; par x et y les coordonnées de la courbe donnée. L'ordonnée y est une fonction donnée de Xj et le carré de la distance du point {xq^Jq) au point (x,j^) est
il s'agit d'avoir les valeurs maxima et minima de la fonction de x représentée par V.
On a
ao6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
La condition -7- = o du maximum ou du minimum
or
est ici
OU
Ht
X — Xq dx
? est le coefficient d^inclinaison de la droite qui
X — Xo
joint le point donné Mo au point demandé M de la courbe
dy donnée, -j- est le coeilicient d'inclinaison de la tangente
en M à la même courbe. Donc Téquation précédente exprime que la droite qui joint le point donné au point cherché est normale à la courbe.
Soit M Pun des points ainsi déterminés par l'équation (3); ce point répondra à un minimum ou à un
d^y maximum, suivant que ^-j- sera positive ou négative.
Mais, si -7-r- est nulle, il faudra recourir aux dérivées des
dar
ordres supérieurs pour décider s'il y a maximum ou minimum, ou s'il n'y a ni l'un ni l'autre. Ce dernier cas
se présentera en particulier si, —^ étant nulle pour le
point M, la valeur de -j-^ est différente de zéro.
La droite Mo M ayant été menée, supposons que le point donné Mo prenne toutes les positions possibles sur cette normale, il y aura une position M' du point Mo pour
laquelle la dérivée 3-j- sera nulle ; par conséquent, si l'on
nomme a/, y les coordonnées de M' on aura
CHAPITUE VI. 20*7
et la deuxième équation ( a ) pourra alors se mettre sous la forihe
Cela montre que la valeur de Mo M sera un minimum ou un maximum, suivant que j^o — y et y — y seront de même signe ou de signes contraires. En d'autres termes, il y aura minimum quand le point donné Mo sera situé entre M'et M, maximum dans le cas contraire. Le point M' est, comme on le verra plus loin, ce qu'on nomme le centre de courbure de la courbe donnée au point M.
m. Supposons que la courbe donnée soit un cercle ayant pour équation
on a, en différentiant cette équation,
dr I dr*\ d^r
Alors l'équation (3) du numéro précédent devient
Xq -a?o
eUe représente la droite qui joint le point donné au centre du cercle, et elle coupe la circonférence en deux points, dont l'un répond à un minimum, l'autre à un maximum. Effectivement le point désigné par M' est ici le centre du cercle donné, et l'on a
a dx^ y*
d'où il suit que -j-j- est positif ou négatif, suivant que j^^ et y sont de même signe ou de signes contraires.
ao8 CALCUL uhtéreuthel.
Itë» Si la courbe donnée est. gauche ou si, cette courbe étant plane, le point donné Mo n'est pas situé dans son plan, on emploiera trois coordonnées rectangulaires. Le carré de la distance du point donné Mo i un point de la courbe sera
V = (x - Xo)'H- (r ~ro)' H- (« - «o)'
y et z étant des fonctions données de Xy puis on aura
I <^V . dy . . dz
2 dj:^
/ dy^ dz*\ , .d^r , ^d*z
Les points x, j^ z qui répondent au minimum ou au
dV maximum sont donnés par Téquation — = o, ou
. (x-Xo)4-(r-ro)^-4-(«~Zo)^=:0,
à laquelle il faut joindre les deux équations de la courbe donnée. Si l'on regarde x©, j'o? ^e comme des coordon* nées variables, x^ y y z comme des quantités données, l'équation précédente sera celle d*un plan, et Ton verra plus loin que ce plan est normal à la courbe donnée, c'est-à-dire qu'il est perpendiculaire à la tangente menée par le point M(ar,j^, z) où il rencontre la courbe.
Maintenant, pour distinguer le cas du minimum de celui du maximum, désignons par a/, y y J les coordonnées d*un point variable, remplaçons j^o et Zq par r^
et :^ dans l'expression de -j-^ et égalons le résultat à
zéro, on obtiendra l'équation
/ , rfr* , dz^\ ^, ,. /^«r , ,,rPz
