CHAPITRE VI

qai sera celle d*un plan. SoitM'le point où ce plan coupe la droite Mo M, et supposons que j/, ^', J représentent les coordonnées du point M', on aura

^-"' •^-•^: *-" (^y)^i!:r + ;,,M^^' et, à cause de l'équation précédente,

donc

dy^ dz^ \ Xq — X*

dx* dx^J x — x'''

par conséquent on aura

selon que x© — j/ et a: — j/ seront de même signe ou de signes contraires. Il résulte de là que le minimum aura lieu si le point donné Mo est situé entre M et M^; il y aura maximum dans le cas contraire.

Remarque sur les maxima et les minima relatifs.

146. On peut avoir besoin de connaître la plus grande et la plus petite des valeurs que prend une fonctiony*(a:) de la variable x quand x varie entre deux limites données a et £ ; un tel maximum ou minimum est dit un maximum relatif on un minimum relatif Pour résoudre la question il est nécessaire d^étudier les variations de la fonction y(a:) en faisant usage de sa dérivée. Si la dérivée reste finie et conserve son signe, quand x varie de a à &, le maximum et le minimum relatifs seront les valeurs

S. — Cale. diff. i/f

cxtrèmesj'{a)eif{b). Lorsque la fonclîony(x) a plusieurs maxima et minima absolus, entre les limites considérées, le plus grand des maxima est dit le maximum maximorum, et le plus petit des minima le minimum minimorum; dans ce cas le maximum, maximoF'um> satisfera à la condition du maximum relatif, s'il surpasse toutefois les valeurs extrêmesy(a),y(i); pareillement, le minimum minimorum sera le minimum relatif, s'il est inférieur aux valeurs extrêmes.

Lorsqu'un problème a pour objet la détermination d'un maximum ou d'un minimum, et qu'on a fait un choix de variables tel, que la variable indépendante doive rester comprise entre certaines limites, il peut arriver que, pour la fonction dont on doit chercher le maximum ou le minimum, il n'y ait qu'un maximum relatif ou un minimum relatif.

Prenons pour exemple le problème que nous avons traité au n® 144 et dans lequel on demande de trouver la plus courte distance d'un point donné à une circonférence donnée. Faisons passer l'axe des abscisses par le point donné, il s'agit de trouver le maximum et le minimum de l'expression

Mais, par l'équation du cercle, j^ est égal à R.^ — x^\ on a donc

OU, en réduisant,

Il est évident que cette fonction V, qui est linéaire, n'a ni maximum absolu ni minimum absolu. Mais, dans notre

question, l'équation du cerclej^ = yjR^ — x^ exige que la variable indépendante x reste comprise entre — R et H-R.