CHAPITRE VI

notre hypothèse, la dérivée de la fonction proposée, relative à Xy savoir

ÙJC

doit être nulle ou devenir discontinue pour x = Xoy y =y^y z = Zo, .... Il est évident que le même raisonnement s'applique aux autres dérivées partielles

Ojr ÔZ

et, par conséquent, les valeurs de x^jr^ z, . . . qui répondent à un maximum ou à un minimum de la fonction J'{Xf y, z, . . .) sont comprises parmi celles qui annulent la différentielle totale df de cette fonction ou qui la rendent discontinue.

152. On arrive au même résultat par l'emploi de la formule de Taylor. Supposons que l'on attribue aux variables x,yj Zj . . . des valeurs déterminées quelconques, puisqu'on leur donne ensuite les accroissements arbitraires h,kfly..»f qui ne sont autre chose que les différentielles dx, dy, dzy . . . , on aura, par la formule de Taylor, et en faisant abstraction des valeurs qui rendent les dérivées partielles def(x,y, z, . . .) discontinues,

Ra étant le reste de la série arrêtée au deuxième terme. Or, si {(/"n'est pas nulle, le rapport de R2 à d/esi infiniment petit en même temps que hfkf /, ... (134), pourvu que les rapports de ces accroissements à l'un d'entre eux demeurent indéterminés; donc on pourra donner à A, Ar, /, . . . des valeurs absolues assez petites pour que A/* ait le signe de dfy et par conséquent Af changera de signe quand on changera les signes de A, Ar, /, .... Ainsi les

ai8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

valeurs que nous supposons à o:,^ , ^, . . . ne répondent à un maximum ou à un minimum de la fonction f que dans le cas où Ton a

ce qui exige que l'on ait séparément

àf „ df . ^ ^

di^**' dr=°' 5i = °' •••'

puisque dx^ dy^ dz, . . . sont arbitraires.

Lorsque ces conditions sont remplies, l'accroissement ÙJ de f a pour valeur

(a) 4/=ffï+R„

par la formule de Taylor arrêtée au troisième terme. Supposons que, pour toutes les valqurs de A, Ar, /, ... comprises entre — e et -h c, la différentielle d'^f ne soit jamais négative et qu'elle ne s'annule pas, sauf pour // = /: = /=.. . = o; comme on peut supposer e assez

petit pour que le rapport de Rj à — - soit aussi petit que

l'on voudra en valeur absolue, Taccroissement A/* aura le signe de d'^f^ et, par suite, on aura

les valeurs considérées de Xy y^ 2, . . . répondent donc à un minimum de la fonction f. Le même raisonnement montre que, si rf^^n'est jamais positive et qu'elle ne s'annule pas, quand A, k^ l, . . . prennent toutes les valeurs entre — e et H-e, si ce n'est pour /*=:/: = /=.. . = o,

on a

et alors les valeurs attribuées à a:, j^, z, . . . répondent à