CHAPITRE YI

nn maximum. On voit enfin qu'il n'y a ni maximum ni minimum, lorsque, pour les valeurs de h,kyl, ... comprises entre — e et-f-e, la difTérentielle rf^y prend des valeurs positives et des valeurs négatives.

IVf aiâ il peut arriver que la difTérentielle d^f soit identiquement nulle pour les valeurs attribuées aux variables 07, j^, ^, . . ., ou bien que cette différentielle soit nulle, seulement pour certaines valeurs de A, k,l, ... comprises entre — e et -f-e, et qu'elle conserve le même signe pour tous les autres systèmes de valeurs de A, /r, /, — Quand ce dernier cas a lieu, il faut, pour que le minimum ou le maximum ait lieu, que l'inégalité

A/ > G ou A/< o,

persiste pour les valeurs de A, A", /, ... qui annulent d^/. Or, pour de telles valeurs, la formule de Taylor donne

et l'on en conclut immédiatement que les valeurs de /i, Ar, /, ... qui annulent d^y doivent annuler en même temps d^J*; alors on a, par la formule de Taylor,

d'où il résulte que le maximum ou le minimum a lieu si, pour les valeurs de A, Ar, /, . . . qui annulent d^ftl d^f, d^f^i constamment le signe — ou constamment le signe H- . Lorsque, pour les valeurs attribuées k Xyj^ Zj . . . , la différentielle d^/esi identiquement nulle, la formule (3) montre que rf^ydoit être elle-même identiquement nulle; on voit ensuite, par la formule (4), qu'il y a maximum ou minimum suivant que rf*y est constamment négative ou constamment positive.

a20 CALCUL DIFFÉREKTIEL.

Si d*fest identiquement nulle ou si elle s'annule sans changer de signe pour certaines valeurs de A, /r, /,.-., il faudra recourir aux difTérentielles des ordres supérieurs. Mais il serait inutile de pousser plus loin cette discussion; ce que nous avons dit suflit pour les applications.

153. Dans les cas les plus ordinaires du minimum et du maximum, on a constamment

flP/>o ou ^/<Co,

pour les valeurs de hf k, l, . . ^ comprises entre — «et -f-e. Nous allons chercher les conditions pour que l'une ou l'autre de ces inégalités ait lieu effectivement; nous considérerons seulement la première, savoir

laquelle répond au minimum; le cas du maximum se ramène à celui du minimum en changeant^ en — J*. On a

posons

c/yrr ^ A«-f-2 ^^ Ait -h î :^ /// -4-. . .

07 oj-ôz ôz*

E étant une quantité positive aussi grande que l'on voudra, on aura

oy* oyôz Oz^

Or, quand A, A, /, . . . varient entre les limites — c et