AV=(AÇ4-P)*4-V

La première partie de cette valeur de AV s'annule pour

Ç = 9 quelles que soient >î, f , . . . ; donc il faut que

la quantité V{ soit constamment positive.

232 CALCUL DIFFÊREfïTlEL.

Ainsi les conditions demandées pour que V soit constamment positive sont : i** que A soit >o; 2** que V| soi t constamment positive . Or Vf est, comme V, une fonction entière et homogène du deuxième degré, mais elle ne contient que m — i variables ; on pourra donc raisonner sur Vf comme nous venons de le faire sur V : on trouvera ainsi les conditions pour que V| soit constamment positive, savoir : i*' qu'une certaine quantité déterminée A| soit >o; 2** qu'une certaine fonction homogène du second degré Va de m — 2 variables soit constamment positive. Il est évident qu'en continuant de cette manière on obtiendra m conditions

A ;> o, Al >- o, A2 r> o, . . . , A„,, > o,

nécessaires et suffisantes pour que l'on ait constamment V>o.

Considérons en particulier le cas où la fonction y ne dépend que de deux variables a:, y. Alors on a

dx^ dxôf ' dj

puis

les conditions pour que V soit constamment positive sont donc

dx* ■^°' dx* dy \dxdj) " **' il est évident que ces conditions entratnent la suivante :