Exemple I. — Trouver le maximum de la fonction
f = .r*j*2T ...tt^(a — X — y — z — .. . — «)>*,
où Von désigne par a une constante positive donnée, par a, 6,y, ...,X,fji des exposants entiers positifs. On a ici
tif dx ^(Ir ^ du élx -h dx -h . . . -\- du
f X y u a — X — jr — ... — u
~~\7) =""lxj — -^fî«3: t^t^tt::^-^
L'équation df=z o peut être satisfaite par des valeurs nuUes des variables x^y^ z, . . . , u, et il est facile de reconnaître dans quels cas ces valeurs répondent à un maximum ou à un minimum. Nous en ferons ici abstraction ; alors la condition df= o donnera
a 6 7 \ fi
X y z ' ' ' u a — X — y — ... — «' d'où l'on tire
X y z it a
— - — ) «-««...iv?
aa4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
enfin on a, par les formules écrites plus haut et à cause de df=^ o,
donc la précédente valeur de f est un maximum.
155. Exemple IL — Trouver les maxima et les nu-' niina de la distance de deux points appartenant respec" tivement à deux courbes données.
Soient Xj y y z les coordonnées rectan^laires d'un point M de la première courbe ; x\ j\ z' celles d'un point M^ de la seconde, et Vie carré de la distance MM^, on aura
Il y a ici deux, variables indépendantes ; on peut choisir X elxf\ alors j^ et z seront des fonctions données de jr, y et z' des fonctions données de x'. On a
rfx'
puis
___ / dr ^ dz ^h'\
' \ dx dx' dx dx )
2 ôxôx'
Les conditions communes au maximum et au minimum
CnAPlTRB VI. 325
sont donc
Les dérivées -y^^-r^ -tt^ -tt sont données par les équa-
ax dx cLx dx *■ *■
tions des deux courbes, et enjoignant à ces équations les deux précédentes, on aura un système de six équations qui détermineront les coordonnées x^ y^ z, jt', j ', z'. Mais, pour que le maximum ou le minimum ait efiectivement lieu, on doit avoir
d^y d'V / d'y \« f^' dx' àx'^ \dxdx') ^^'
S'il en est ainsi, il y aura minimum quand ^-^ et -r-^
seront négatives, maximum dans le cas contraire.
Les équations (4) expriment, comme on le verra plus loin, que la droite menée par les points {^x^ y^ z), (x', y' y ^') est normale aux courbes données. Ce fait résulte d'ailleurs évidemment de ce qui a été dit au n° 145.
156. Supposons que les courbes données se réduisent à des lignes droites ayant pour équations
et
Comme on a ici
dx b
dz I
dr' h'
dz'
dx a
dx~^ a'^
dx' a'
dx'
et que les dérivées ^-j? —^^ ~J7i^ 'TJUl ^^^^ nulles, on
S. — CaU» diff, i5
vérifie immédiatement que les conditions du minimum sont remplies. Alors les équations (4) du n° 155 sont
«'(ir-x')+^'(^-/) + (z-z'} = o, et on peut les remplacer par deux des trois suivantes :
Mais des équations des droites on déduit
i^h' -h)[x-x')-[a' -a)[y-y']^{ha' -ah'){z-z') = (a'a)(6'6)(6't)(,'„),
et si Ton ajoute les quatre équations précédentes, après les avoir élevées au carré, il viendra
[(fl'a)«>^ (ô' h^-^ {ab'~ ba')*]y ^ [{a^^a) (6' - 6) - [b^ - b) («'- a)p;
on déduit de là l'expression connue de la plus courte distance des droites données, savoir :
157. Exemple III. — Trou\^er les maxima et les nd-nima de la distance d'un point donné à une surface donnée.
Soient j:o>jro> ^o les coordonnées du point donné M© relatives à trois axes rectangulaires, et x, y y z les coordonnées d'un point de la surface. Le carré de la distance des deux points est
CHAPITHE VI. 22^
z est une fonction donnée des deux variables indépendantes X) y^ et nous ferons
dz = pdx -\- qdjr^ dp zz= rdx -+- sdy^ dq = sdx H- tdy.
D'après cela on aura
I ày
puis
enfin, si l'on fait, pour abréger l'écriture,
[ A = rt— s*,
(4) I B = (i + *7*)r-2/77iH-(i-f-y7»)/',
on aura, parles formules (3),
La condition du maximum ou du minimum donne
ces équations, jointes à celle de la surface, détermineront les coordonnées x, j^y z; on verra plus loin quelles sont
précisément les équations d'une normale à la surface, quand on y considère a:©, ^o> ^o comme des coordonnées variables, x, y, z comme des quantités données.
Mais, pour qu'un point M( j:,^, z ), déterminé comme on vient de le dire, réponde effectivement à un maximum ou à un minimum, il faut que Ton ait
(6) A(z — Zo)«-+-B(z — Zo)-hC>o.
Désignons par Z une indéterminée, remplaçons z^ par Z dans le premier membre de cette inégalité, et égalons le résultat à zéro; on obtiendra Téquation
(7) A(z — Z)«-4-B(z — Z) -l-C^o, dont les racines sont toujours réelles, cai^ on a
Soient -s' et z" les racines Z de Téquation (7)? le premier membre de cette équation sera identiquement égal à
et, par suite, en remettant au lieu de A sa valeur, notre condition (6) deviendra
Soient M', M'' les points de la normale M© M pour lesquels la coordonnée z a les valeurs z\ 2''; la condition (8) exprime que, si Ton a
rt — f * ]> o,
il faut et il suffit, pour le maximum ou le minimum, que le point donné Mq ne soit pas situé entre le point M' et le point M''. Au contraire, si Ton a
r/ — 5'<Co,
châpithe VI. ^^g
îl faut et il suffit, pour le maximum ou le minimum, que le point Mo soit situé entre M' et IW.
Il reste à faire la distinction du maximum et du minimum. La condition (6) étant remplie, la quantité
ne peut s'annuler, et par conséquent elle a le signe des
dérivées
donc la somme de ces trois quantités aura encore le même signe, et l'expression
sera négative dans le cas du maximum, positive dans le cas du minimum. On reconnaît ainsi, au moyen des formules (3) et (4), que Ton a
(9) B(8-ao)-!-2C<o dans le cas du maximum, et
(10) B(« — 2o) -^îiC>o
dans le cas du minimum. Mais l'équation (7), qui a pour racines z' el z", nous donne
donc la quantité
ZO — Z' Zq — z"
est négative dans le cas du maximum, positive dans le cas du minimum.
Supposons d'abord rt — 5^ ]> o -, alors les deux valeurs z — z\ z — z" de z — Z tirées de l'équation (7)
a3o CILGUL DIFFÉREliTIEL.
sont de même signe ; donc les deux points M' et M'^ de la ligne MMo ou uv sont situés d'un même côté par rapport au point M. Les différences Zq — z^ et Zo — z^^ sont aussi
de même signe, comme on Ta vu plus haut, et les points M', M'' sont d'un même côté de uv par rapport au point Mo. On voit donc que la distance M© M sera un minimum si les points M', M'' ne sont pas situés entre M et Mo ; elle sera un maximum dans le cas contraire.
Supposons en second lieu rt — s^<^o; d'après l'équation (7), les différences z — z', z — z" sont de signes contraires, et le point M est situé sur la ligne uç», entre M' et M"; mais 1î^ condition (8) exige que z^ — ^' et
M' Mo M M'
Zo — ^" soient également de signes contraires, c'est-àdire que Mo soit situé comme M entre M' et M'^. Dans ce cas il est évident que la dislance Mo M est toujours un minimum.
Examinons encore le cas de rt — 5^=0. La condition (6) se réduit à
B(z — Zo)-hC>o,
et, quand elle est satisfaite, l'inégalité (10) a lieu à plus forte raison; il en résulte que le minimum a lieu. II n'existe plus dans le cas actuel qu'un seul point M' de la ligne Mo M dont la coordonnée z' satisfasse à l'équation
En introduisant cette quantité z\ l'inégalité précédente devient
CHAPITHE VI. 23 1
donc, pour que le minimum ait effectivement lieu, il faut et il sufBl que le point donné Mo soit situé sur celle des deux parties M'a, MV de la normale où se trouve le point M.
