LL

Enfin, si l'on a pour les coordonnées de M

A nz o, B = o,

la condition (6) se réduit à

et elle est toujours satisfaite. Mais, dans notre hypothèse, on a

r*4-5'-4- [qr — psY = Oy

et, par conséquent,

r^=o, s--Qy r=zo;

les formules (3) montrent que le minimum a lieu.

Les points M' et M''' jouent un rôle important dans la théorie des surfaces, ainsi qu'on le verra plus loin.

Cas où les dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables cessent d'être déterminées quand on donne aux variables les valeurs qui répondent au maximum ou au minimum,

158. Nous avons dit que les valeurs des variables qui répondent au maximum ou au minimum d'une fonction doivent annuler les dérivées partielles de cette fonction, à moins que celles-ci ne cessent d'être continues. Nous devons ajouter, d'après une remarque importante due à M. Bertrand, qu'il peut arriver que les dérivées partielles

a3a CALCUL difféacntiel.

d'une fonction cessent d^étre déterminées pour certaines valeurs des variables , et que ces valeurs répondent en même temps à un maximum ou à un minimum de la fonction. Nous présenterons ici l'exemple même que M. Bertrand a choisi pour justifier son assertion.

Problème. — Trouver dans le plan d'un triangle donné le point dont les distances aux sommets du triangle ont une somme minima.

Prenons le côté AB du triangle donné ABC pour axe des X, et la perpendiculaire Aj à AB pour axe des j^. Désignons par c la longueur du côté AB, par Xo, J^o les coordonnées du point C et par x^y les coordonnées du point cherché M. La fonction dont on demande ici le minimum est

il est évident a priori que ce minimum existe dans tous les cas, et que la question ne comporte pas de maximum. En égalant à zéro les deux dérivées partielles de la somme précédente, on a les deux équations

/ \ X I y I y — To

qui représentent deux courbes dont Tintersection donnera le point demandé M. Mais on peut à ces deux courbes en

CHAPiTRB yi. a33

substituer d'autres plus simples. A cet effet, désignons par fùf^fU les angles formés par les directions AM, BM, CM avec la direction Ax de Taxe des x ; chacun de ces angles doit être regardé conme engendré par une droite d'abord parallèle à Axy menée par le point A, ou B, ou C, et qui se mouvrait toujours dans le m<âme sens, en s'élevant vers la partie positive de l'axe des^. D'après cela on a

cosu == -Il sînû) = —=r

cosy = — ,, aiu^ —.

v(-^ ~ ^oJ'-H (r -ro)* )/(' — ^oj* -i- 1/ — 7«J*

et les équations (i) et (a) deviennent

COSûi -4- COSif» -4- C0St7 rrr O,

sinw H" sin;{* H- sinu = o,

cos» -h cos^J» = — C0SC7, sin6> -h sin>(> r= — sîncj.

En ajoutant ces deux équations après les avoir élevées au carré, on obtient

(cosu H- cos>(>)*-T- (sin« -:- 8ini/»)'^=i, ou

i-f-acos(i^ — m) = o, et cos(^ — w) =

Ainsi l'angle ^ — ck>, qui n'est autre chose que AJVIB, a

pour cosinus ^ et par conséquent cet angle AMB

est de f ao degrés. On conclut de là que le point M est à Tintersection de trois segments capables de 1 20 degrés décrits sur les trois côtés du triangle respectivement;

234 CALCUL DIFFÉIIENTIEL.

les cercles auxquels appartiennent deux de ces segments peuvent donc être substitués aux courbes représenlées par les équations (i) et (2).

Or, pour que les arcs, bases des segments dont il vient d'être question, se coupent réellement, il faut et il suffit que les angles du triangle soient tous les trois inférieurs à 120 degrés. Donc, s'il y a dans le triangle un angle supérieur à 120 degrés, les équations (1) et (2), auxquelles conduit la théorie, ne feront point connaître le minimum, quoique celui-ci ait certainement lieu. Mais les premiers membres de ces équations cessent d'avoir des valeurs déterminées quand on remplace x el j par les coordonnées de Tun des sommets du triangle : donc le

point demandé ne peut être que Tun de ces sommets.

C'est ce qu'il est facile de démontrer directement.

159. Désignons toujours par tù l'angle MAB; nommons en outre p la distance AM, b le côté AC du triangle, et A l'angle CAB. La somme S des distances AM , BM, CM sera

S=::p-H v/c*— 2cp cos&> -h p* -H ^b^— 26pcos(A — &>; -Hp*;

or on a, par la formule du binôme, lorsque ° est suffisamment petit,

V^c* — 2r;p COSw H- p*

...[.- [£c0S«-^)-i(eC08«--^^)'-...],

OU, en ordonnant par rapport à /5, et en désignant par s une quantité qui s'évanouit avec p,

r, , , sin'w -