Considérons le cas général où l'on a n équations
entre m -!- n variables x, j', ^, . . . , u, sf, w, .... Parmi ces m-h n variables, il y en a m, x, y y z, . . . , par exemple, qui sont indépendantes, et les n autres variables sont des fonctions de celles-ci ; nous nous proposons de déterminer les maxima et les minima de Tune deç fonctions u, s^, w, ....
La diiTérentiation des équations (i) donne
àf , àf ^ df ^ df ,
ojc oy ou ov
(2) (àx ôy ou dv
— ; ctr -f- . . . -T- du -4- — r — ûM -i- . . . rrr 0.
Ôx Ou Ov
cnAviTHE VI. 287
SI IX est celle des variables dont il faut trouver les maxima et les minima, on éliminera, entre les n équations (a), les n — 1 difTérentielles di^, dwy . . ., et Ton obtiendra un résultat de la forme
(3) Xctr -H Y/(r -4- Z^z -h . ..-MJ^ttmo.
La condition du maximum ou du minimum donne rfa = o, et les différentielles qui restent dans l'équation (3) étant arbitraires, on aura les /7i équations
(4) v"^^' ïj~^' û^^' ""
Les systèmes (1) et (4) comprennent m-^-n équations qui suffiront pour déterminer les m -f- /i variables. Pour reconnaître si Tune des valeurs de u ainsi obtenues est effectivement un maximum ou un minimum, il faudra calculer la valeur de d'^ u et examiner si cette différentielle conserve le même signe.
Remarque sur le cas d' une fonction explicite de plusieurs variables liées par des équations données.
161 . Le cas précédent comprend celui où Ton demande de trouver les maxima et les minima d'une fonction explicite
de mH- /i — 1 variables liées entre elles par n — i équations
car, en désignant par u la fonction F(j:, j^, z, . . .) et en joignant aux équations (i) la suivante :
on rentre dans le cas de n équations entre m -h n variables. D'après l'analyse du n** 160, il faudra différentier Téquation précédente ainsi que les équations (i), et, puisque du est nulle dans le cas du maximum ou du minimum, on aura
ÔF ^ ÔF ^ dF ^
^ ' OJC ojr OZ
puis
ox oy OZ
(3) { dx dx OZ
OX ôjr Oz
Cela posé, il nous faut éliminer, entre les n équations (2) et (3), w — I des différentielles dxj dy, dz, ... et égaler ensuite à zéro les coefficients des différentielles qui restent dans l'équation finale. Pour faire l'élimination nous ajouterons l'équation (2) avec les équations (3), après avoir multiplié* celles-ci respectivement par des facteurs indéterminés
ces facteurs devront être choisis de manière à faire disparaître n — I différentielles ; mais, comme il faudra ensuite égaler à zéro les coefficients des différentielles restantes, on voit que les coefficients de toutes les différentielles
