CHAPITRE VI. a

devront être égalés à zéro. Ainsi l'on formera les équations suivantes :

(4) (â?'^"^^"*'^'âF-^----^^»--^-°'

Il reste à éliminer les w — i indéterminées X, X,, ... entre les m-hn — i équations (4)> et l'on obtiendra de la sorte m équations qui, jointes aux équations (i), serviront à déterminer les m -j- /i — i inconnues x, jy z, ....

162. L'emploi des facteurs X n'a fait jusqu'ici que substituer une élimination à une autre, ce qui n'a pas un grand intérêt; mais la considération de ces facteurs va nous permettre d'établir une proposition importante.

Si les variables x,j^, z, . . . étaient toutes indépendantes, la condition du maximum ou du minimum de la fonction F donnerait les équations

àY d¥ dV

da: ojr ôz

mais il n'en est plus ainsi dans notre cas, où il s'agit d'un maximum ou d'un minimum relatif, les variables Xyjy Zy ... étant liées par les équations ( i ) . Or les équations (4) montrent que le maximum ou le minimum relatif demandé s'obtiendra par la règle du maximum ou du minimum absolu, appliquée à la fonction

F -h X/-f- ^, /j -h . . . -+- X„-2/„-„ X, Xj, . . ., X;2 2 étant des facteurs indéterminés.

a4o CALCDL DIFFÉRENTIEL.

Ajoutons en terminant que, dans bien des cas, il sera plus avantageux de traiter F(x,y, z, . . .) comme une fonction explicite de m variables seulement, ce qui est permis en supposant que n — i des m -hw — i variables soient remplacées par leurs valeurs fonctions des m autres. C'est ainsi que nous avons procédé dans quelques-uns des problèmes précédemment traités.

CHA^PITRE VIT. s4l