Asymptotes. — Limite des tangentes. — Une

ligne droite est dite, comme on sait, asymptote d^une

branche de courbe, si la distance d^un point M de la

courbe à la droite tend vers la limite zéro, quand ce

point M s'éloigne indéfiniment en restant toujours sur la

courbe. Il est facile de voir que Tasymptote est en général

2if4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

la limite vers laquelle tend la tangente au point M, quand ce point M s'éloigne indéfiniment.

En eflety considérons une branche de courbe qui s'étend à rinfini et qui a pour asymptote une droite non parallèle à Taxe desj^, représentée parTéquation

(i) Y = gX-hà.

La distance du point [x, j) de la courbe à cette asymptote sera

V'' I -r 2 g COS Q -hg*

0 étant l'axe des axes ; cette expression doit tendre vers zéro avec -•, on aura donc, en désignant par e une quan-

tité qui s'évanouit avec -y

y — gx — /; r^ s ou y^=z gx -S A -i- «. On tire de là

et, pour a: = co ,

g lim-»

Ensuite on a

h = [x — gx) — «,

et, par conséquent,

(3) hz=\\m[y'-' gx).

Les équations (2) 6t (3) permettent de déterminer les constantes gj h de l'équation de Tasymptote.

Maintenant, reprenons Téquation de la tangente à la courbe, savoir :