CHAPITRE VII

^ est une expression fractionnaire dont les deux termes deviennent infinis simultanément; on a donc (n^ 124)

*f dx

lim - = lim — pour x =00 ,

et par conséquent

Ensuite on a

Hm (7 — ^a:) = lim 5

les deux termes de la fraction s'annulent poui'jc=r=ao;

on aura donc, en appliquant la règle du n^ 124^

lim Cr — ff*) = Km — -~ = lim U- — j: ^ )

donc

limfr

Ainsi la tangente représentée par l'équation (4) a pour limite l'asymptote (1) quand le point (x^j^) s'éloigne à l'infini, en demeurant toujours sur la branche de courbe que l'on considère. Gela suppose toutefois (n^ 126)

que -j- ^^ y — ^ dZ coiïscrveii^ des valeurs déterminées,

quel que soit a:; si le contraire avait lieu, l'asymptote ne serait plus la limite des tangentes. La courbe représentée

CALCUL DIFFÉRENTraL.

par l'équation y = offre un exemple de ce cas ; Taxe

des x est ici une asymptote de la courbe, y- tend vers

zéro quand x tend vers Tinfini, maîsj^ — x y- est indéterminée pour x = 00 .

Ordre du contact d'une courbe ai^ec sa tangente, — Points d'inflexion, — Concai^ité et convexité.

166. Soit TQ la tangente au point M de la courbe MM'; prenons sur la courbe le point M' infiniment voisin du

point M et abaissons la perpendiculaire M'Q sur la tangente. Le rapport -— ^ est égal à la tangente de l'angle M'MQ, lequel est infiniment petit; si donc on prend MQ pour infiniment petit principal, M'Q sera un infiniment petit d'un certain ordre [l-\-i supérieur à l'unité. Je dirai que le nombre [l exprime V ordre du contact de la courbe proposée avec la tangente au point M.

Rapportons la courbe à deux axes de coordonnées rectilignes Ox, Ojr faisant entre eux un angle quelconque B ; menons les ordonnées MP, M'P', et soient T, m les points de rencontre de la tangente TQ avec l'axe des x et avec l'ordonnée M'P'. Si Ton désigne par a l'angle MTx, on aura, par le triangle rectangle M'mQ,

lMm =

sin^ô — a]

, M/n = MQ — M'Qcot(Ô — a),

chàpithe VII. û47

et, par le triangle mTP',

PP' = M/72 ^ .— ij

sinO ou

PP' = MO — \ ^ ' — M'Q — h--2 — ^*

On voit que, si Taxe des r n'est pas parallèle à la tangente TQ, les rapports des infiniment petits

M'/7l, PP'

aux infiniment petits respectifs

M' Q, MQ

tendront vers des limites finies ; donc, si Ton prend PP* pour infiniment petit principal, M' m sera un infiniment petit de Tordre jix >f- i •

Désignons par x, y les coordonnées du point M, par X -4- ^Xy y 4- AX celles du point M', et par Y l'ordonnée du point m de la tangente ; Tordre du contact en M sera inférieur d'une unité, d'après ce qui précède, à Tordre infinitésimal de la différence

(0 (r4-Ajr)-Y ou A^-(Y~r)i

Ar étant Tinfiniment petit principal. Or on a, par Téqua-

lion de la tangente,

„ dr

donc Texpression (i) se réduit à

Cela posé, la formule de Taylor, arrêtée au troisième terme, donne

(3) Ax— :r^'=TT ^^»*

q4S càlcitl différentiel.

en supposant remplies les conditions de continuité exigées, et Ton voit que, si -— n'est pas nulle, la différence (2) est un infiniment petit du deuxième ordre, qui ne change pas de signe quand £^x change de signe. Donc le contact d'une courbe avec sa tangente est, en général, du premier ordre, et la courbe est alors tout entière située d'un même côté de la tangente, dans le voisinage du point de contact.

Mais, si l'on a, pour le point M,

la formule de Taylor, arrêtée au quatrième terme, donnera

Av — „^

(Lk djc^ 1.2.3

/ / X dy d}r A.r* ^

(4) AJ- - :^. i'= :73 r^r^ + R*.

et si -j-^ n'est pas nulle, la différence (i) ou (2) sera un

infiniment petit du troisième ordre dont le signe changera avec le signe de Ax. Dans ce cas, le contact au point M est du deuxième ordre; en outre, puisque la différence {y 4- ^y) — Y change de signe en même temps que Aa:, la courbe traverse la tangente en M. On dit qu'il y a inflexion en M, ou que M. est un point d'inflexion.

Cela exige que -7^ ne soit pas nulle. Supposons généralement que l'on ait au point M

mais que la dérivée suivante -— ne soit pas nulle. On

aura, par la formule de Taylor,

/*'\ . dy d'^y Ajt* ^