CHAPITRE YII

Uexpressîon (i) ou (2) est un infiniment petit de Tordre riy et la courbe a^ au point M, un contact d'ordre n — I avec sa tangente. Si n est pair, la différence (i), [y -r- i^j) — Y ne change pas de signe quand Ax change de signe, et, dans le voisinage du point de contact, la courbe est entièrement située d'un même côté de la tangente. Au contraire, si n est impair, la différence [y -f- 4/) — Y change de signe en même temps que Ax, la courbe traverse sa tangente et le point M est un point d'inflexion.

On voit en résumé que les points d'inflexion d'une courbe sont les points où la courbe a un contact d'ordre pair avec sa tangente. Il est à peine nécessaire d'ajouter que l'analyse qui précède laisse de côté les cas où les dérivées de Tordonnée de la courbe ne sont pas toutes continues dans le voisinage des points que l'on considère.

Nous présenterons encore ici une remarque importante. Menons par le point M une droite quelconque, et soit Y4 l'ordonnée de cette droite, correspondant à l'abscisse x-f- Ax; on aura Yj =a Ax, a étant le coefficient d'inclinaison de la droite ; par conséquent

et, Ar étant infiniment petit, on voit que les différences

sont de même signe. On conclut de là qu'il est impossible de mener, par un point d'une courbe, une droite qui soit comprise entre cette courbe et la tangente, dans le voisinage du point de contact.