CHAPITRE
serait pas on nombre entier, ce qui peut o£frir quelque avantage. Certaines questions conduisent effectivement à considérer des infiniment petits dont l'ordre est exprimé par un nombre fractionnaire.
La Géométrie nous fournit des exemples nombreux d'infiniment petits de différents ordres; mais, comme cette matière sera traitée à fond dans les Chapitres suivants, nous nous bornerons ici à une simple indication. L'arc de cercle x étant choisi pour infiniment petit principal, on reconnaît immédiatement que sinx et tangx sont des infiniment petits du premier ordre ; i — coso: est un infiniment petit du deuxième ordre; enfin x — sinj? est on infiniment petit du troisième ordre.
De la méthode infinitésimale.
6. On peut employer à deux points de vue très-différents les quantités infiniment petites dans le calcul des grandeurs déterminées.
Le premier point de vue, qui a échappé aux anciens géomètres, consiste à regarder la quantité que l'on cherche comme la limite du rapport de deux infiniment petits. C'est ainsi que l'on procède dans le problème qui a pour objet la recherche des tangentes aux courbes. Effectivement, la courbe MM' étant rapportée à deux axes de
coordonnées rectilignes, si l'on veut connaître la tangente au point M dont les coordonnées sontxetj^, on joindra le
8 CALCUL BIFFÊRENTIEL.
point M à un autre point M'de la courbe ayant pour coordonnées x H- a, j^-f- S; le coefficient d'inclinaison de la
sécante MM' sera -•» et les quantités a, S étant regardées
comme infiniment petites, le coefficient d'inclinaison c de la tangente demandée aura pour valeur
e = lim - • a
Ainsi, dans ce problème, la quantité à déterminer se présente comme limite du rapport des accroissements infiniment petits simultanés de l'ordonnée et de l'abscisse du point de contact.
7. Le second point de vue est celui où les anciens se sont placés, et le procédé qui en résulte pour l'évaluation des grandeurs déterminées a été particulièrement développé par Archimède. Il consiste à concevoir les grandeurs décomposées en parties égales ou inégales et à supposer que, le nombre de ces parties augmentant sans limite, chacune d'elles tende vers zéro; en employant le langage de la doctrine infinitésimale, cela revient à dire que chaque grandeur peut être décomposée en un nombre infiniment grand de parties infiniment petites. Ces par^ ties infiniment petites étant de même nature que la grandeur totale, il semble que leur évaluation doit offrir les mêmes difficultés ; mais on verra bientôt comment la décomposition dont il s'agit fournit le moyen de remplir l'objet qu'on se propose.
En résumé, toute quantité infiniment petite qu'on a à considérer est destinée à figurer comme terme d'un rapport ou comme élément d'une somme composée d'un nombre infini de parties.
La méthode infinitésimale est contenue dans les deux principes suivants :
chapithe u 9
8. Premier principe. — La limite du rapport de deux infiniment petits n*est pas changée quand on les rem^ place par d* autres infiniment petits dont les rapports a^ec eux ont respectis^ement pour limite V unité.
En efTety soient a et 6 les infiniment petits proposés ; a'y & deux autres infiniment petits tels, que Ton ait
lim - = I , lim -^zzzij
oc 0
OU, ce qui revient au même.
— = i4-«, -z =H-îî, a 6
e et 19 étant des infiniment petits.
On tire des formules précédentes
a'=a(i-hg), e' = 5(n-^î);
d'où
6' 6 i-hiî 1 -^-i
Comme la limite du rapport est évidemment égale
à l'unité, on a
hm^-hm-,
ce qui démontre le principe énoncé.
Lorsque la limite du rapport de deux infiniment petits est égale à i, la difi'érence de ces infiniment petits est infiniment petite par rapport à chacun d'eux ; car, si Ton a
OL a'
lim — = I ou — = I -f- 5, a ec
c étant un infiniment petit, on en conclut
lO CALCUL DIFFéaBNTIBL.
etréciproquementruneourautre des égalités précédentes a pour conséquence lim — = i . Il résulte de là que notre
premier principe peut encore être énoncé comme il suit:
La limite du rapport de deux infiniment petits n'est pas changée quand on augmente ou quon diminue chacun d'eux d^une quantité infiniment petite par rap^ port à lui.
Exemple. — Si l'arc x est infiniment petit et que m et n soient des constantes, les quantités sinmj: et sin nx seront infiniment petites. D'ailleurs leurs rapports aux arcs mxy nx ont pour limite l'unité; donc on a
,. sin/Tix ,. mx m
Iim -: = lim — = — '
sinna: nx n
