Remarque sur les poists d'iuplexioh. — Soit
25o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
TT' la tangente en un point d'inflexion M ; prenons sur la courbe y de part et d'autre du point M, deux points M^, M''; la tangente TT' est la limite vers laquelle tendent les sécantes MM', MM'', lorsque les points M' et M" se rapprochent indéfiniment de M. Or, si l'angle M'^MT' est plus grand que M'MT, il lui deviendra égal quand le
point M" se sera suflisamment rapproché de M ; on peut donc supposer ces angles variables M'TVI'Fet M'MT égaux entre eux. Il résulte de là que si, par un point d'inflexion d'une courbe, on mène une sécante infiniment voisine de la tangente, cette sécante rencontrera la courbe en divers autres points, parmi lesquels il y en aura deux au moins qui, à la limite, se confondront avec le point d'inflexion.
168. Concavité et convexité. — On dit qu'une courbe est conca\fe en un de ses points M vers une droite donnée, ou qu'elle tourne sa concavité vers la droite, lorsque, dans le voisinage de M, elle est située tout entière dans l'angle aigu que forme la tangente en M avec la droite donnée. Au contraire, elle est conx^exe en M, ou elle tourne sa convexité vers la droite donnée, lorsque, dans le voisinage de ce point, elle est située tout entière dans l'angle obtus formé par la tangente en M avec la droite.
Les résultats obtenus au n^ 166 donnent le moyen de reconnaître si une courbe présente, en un point donné, sa concavité ou sa convexité vers l'axe de x. Supposons d'abord que les axes soient rectangulaires ; on voit sur la figure du n° 166 qu'il y aura concavité ou convexité en M suivant que l'ordonnée M'P'=.j^-f- Aj^ sera inférieure
CBAPITKE VII. aSi
OU supérieure à Tordonnée mVz=z Y de la tangente. Or
Texcès de la première ordonnée sur la seconde est égale
dr ^ùijf — -,- ûa:, expression qui, d'après la formule (3)
du n^ 166, a le signe de -t-j : donc la courbe sera concave
ou convexe en M, vers l'axe des x, selon que ^-j sera
négative ou positive. Toutefois, cela suppose que^ soit positive, et il est évident que le contraire aura lieu, dans le cas dej^ négative.
On voit, d'après cela, qu'une courbe reste convexe vers
Taxe des x, tant que j et --—^ ont le même signe, qu'elle
reste concave au contraire tant que j et -7^ sont de
d^r signes contraires. Lorsque -j^ s'annule, la concavité ou
la convexité persiste, si le contact de la courbe avec sa tangente est d'ordre impair; mais si ce contact est d'ordre pair, il y a inflexion ; la concavité se change en convexité, ou inversement.
169. La conclusion précédente ne subsiste pas toujours quand les axes font un angle aigu ou obtus 0 ; soit alors a l'angle que fait la tangente avec l'axe des x, en
sorte que l'on ait
dy sin a
tir sin(0 — a)
Lorsqu'on a a<]0, dans le cas de «<C90°, ou a^fl dans le cas de a]>90®, la condition de la concavité ou de la convexité est la même que si les axes étaient rectangulaires. Mais, si l'hypothèse contraire a lieu, la condition de la concavité ou de la convexité est celle qui a lieu pour la convexité ou la concavité dans le cas des axes rectangulaires. On vérifie facilement sur une figure l'exactitude
aSa CALCUL différeittiel.
de noire assertion, mais on y parvient aussi par an calcnl bien simple. Désignons par x^ j^i les coordonnées relatives à Taxe actuel des a: et à un axe des j^i perpendiculaire au premier ; on aura
On tire de là
dp dt
I lÙK
et l'on a
Pi I dx I dy^ \-»
4 y dx \ dx y*
dy ^ sindcosa l-h -i- cosO =
dx sin(0 — a)
Le signe de -— fait connaître s'il y a concavité ou
dr
convexité, et celte quantité a le même signe que —
quand cosa et sin(6 — a) sont de même signe ; elle est de
1 cLc
signe contraire à — j^ quand cosa et sîn(0 — a) sont de signes contraires.
170. Exemples. — i® Considérons la courbe dont l'équation, en coordonnées rectangulaires, est
y = ûïix.
On a
dy d^y I d^y
dx dx^ y dx*
Il en résulte que la courbe est constamment concave vers Taxe des x, et que les points où elle rencontre cet axe sont des points d'inflexion.
