CHAPITRE Vn

a^ Soit la courbe dont l'équation, en coordonnées

rectangulaires, est

y = tangx.

On a

dy T

d^y 2 tangjr

dx cos*ar'

dx^ ces* a:

y dx^

CCS* or'

la courbe tourne donc constamment sa convexité vers l'axe des a:, et les points où elle le rencontre sont des points d'inflexion.

3° Soit la courbe ayant pour équation, en coordonnées rectangulaires.

on a

dr 3jr*4-6x«— I r/V ^[x — x^)

- On voit que la courbe tourne constamment sa concavité vers l'axe des x\ elle a trois points d'inflexion qui sont situés sur cet axe et qui répondent aux abscisses x= — I, a: = o, a: = -hi. Les valeurs correspondantes

y dy I I

de -,- sont -? — i, -• dx 2 2

Emploi des coordonnées homogènes,

171. Otto Hesse a eu le premier l'ingénieuse idée de représenter les deux coordonnées rectilignes d'un point par les rapports de deux variables x, j^ à une indéterminée z. Il en résulte que toutes les équations deviennent homogènes, ce qui oflire souvent de précieux avantages. Les coordonnées étant ainsi désignées par -» ->

a54 CALCUL DIFFÉREIÎTIEL.

réquation d'une courbe quelconque aura la forme

f désignant une fonction homogène des trois variables x, y^^ z. Quand on passe d'un point de la courbe à un autre pointy on peut à volonté supposer z constante ou la regarder comme variable.

L'équation (i) étant diiTérentiée sans faire d'hypothèse

sur Zy on a

^ ' o.r ay oz

Or les identités

donnent

dx-^zd 1 — dz^ dy ■=^ zd •- -^ - dz^

et par conséquent l'équation (2) devient

Ldx z ày z \ z \ àx ^ ày àz \ '

mais, si n désigne le degré d'homogénéité de la fonction /, on a identiquement (n*** 84 et 136)

/o^ à/ àf àf ^,

donc il vient

^ ' ox z oy z

D'après les notations que nous adoptons ici, l'équation de la tangente à la courbe sera

dl