CHAPITRE VII

de TT. En conséquence, la fonction (8) est croissante quand &> croît de a — eàa-|~c, et elle est décroissante quand (o croît de 7r-t-a — s àîr-f-a-f-e; en outre, cette fonction change de signe, dansTun et l'autre cas; donc elle s'annule entre les deux limites.

Il résulte de là que, si les équations (a) n'admettent pas la solution commune x = Xoyy=y'of l'équation (7) aura deux racines a>, l'une infiniment peu différente de a, l'autre infiniment peu difiTérente de tt -h a, et qu'elle n'aura aucune autre racine. Ainsi le cercle décrit du point M(xo,jKo) comme centre, avec le rayon p, ne coupera la courbe qu'en deux points m, /»', et les rayons Mm, M/Tz' feront des angles infiniment petits, l'un avec l'une des directions de la tangente en M, l'autre avec la direction opposée*. Il s'ensuit que le point M ne sera pas un point singulier, ce qui démontre le théorème énoncé.

Remarque. — Si l'on adopte le système des coordonnées homogènes, les coordonnées -> ~ des points singuliers de la courbe représentée par l'équation homogène

annuleront les trois dérivées partielles du premier ordre U|, Ua, U3, car les équations u = o, m< = o, Uj = o entraînent uj = o. Il en résulte que le déterminant de la fonction u (n* 175) s'annule pour tous les points singuliers.

Recherche de la nature des points singuliers.

182, D'après ce qui précède, les coordonnées des points singuliers de la courbe

ajS CALCUL DTFFÉRE1«TIEL.

doivent satisfaire aux deux équations f , àf àf

Nous admettrons dans ce qui va suivre que toutes celles des dérivées partielles de la fonction y (x,j^) que nous aurons à considérer restent continues. Soient Xo, y^ les coordonnées d'un point M de la courbe (i) qui satisfassent en même temps aux équations (2), mais qui ne vérifient pas à la fois les trois équations

Désignons, comme précédemment, par Xo -4- A,^o -4-* les coordonnées d'un point m de la circonférence décrite du point M comme centrci avec le rayon infiniment petit/o. La condition, pour que ce point m soit sur la courbe donnée, sera

ou, en développant par la formule de Taylor et en supprimant les termes qui sont nuls en vertu de nos hypothèses,

Ra désigne, conformément à notre Dotation habituelle, le reste de la série arrêtée au troisième terme. Si Ton a

le trinôme entre crochets, dans l'équation ( 4 ) , ne sera jamais nul, et comme sa valeur absolue est supérieure à celle de Rs, lorsque A et Ar sont suffisamment petits, il

CHA.iaTRE Vil. 273

est évident que Téquation (4) ne pourra pas être satisfaite. Il s'ensuit que la circonférence de rayon p ne rencontre pas la courbe, et, par conséquent, le point M est un point isolé.

183. Lorsque l'inégalité (5) n'a pas lieu, les racines t de Téquation

sont réelles, et elles peuvent être représentées par

sin a sin 6

sin(0 — a)' 8in(ô — 6)'

9 étant toujours l'angle des axes, a et 6 des angles compris entre zéro et tt; on peut alors mettre l'équation (4) sous la forme

;(g^).['-'sH^)]['-*4^]-«-=»-

Nous remplacerons A et Ar par leurs valeurs . ^ ^ >

^ ^ siiiô

f . déjà employées au numéro précédent; nous ferons en outre, pour abréger l'écriture,

en convenant de prendre le radical avec le signe du produit sin(0 — a)sin(0 — S). L'équation (4), divisée par p'*, devient alors

(7) M8in(« — a)sin(»— €) -H -j=o,

--7 s'annulant avec p,

s. — Cale, diff. 18

2rr4 CALCUL DIFFÉREIITIEL.

Supposons d'abord que les racines de Téquation (6) soient inégales; dans ce cas, on a

et les angles a et 6 ne sont ni égaux entre eux ni supplémentaires. Il est évident que Téquation (7) ne peut être satisfaite que par des valeurs de ot> infiniment voisines de l'un des angles a, tu -{-a, 6, îr-f-S; d'ailleurs, si l'on désigne par (Aq l'un de ses quatre angles, et par e une quantité positive déterminée aussi petite que Ton voudra, le premier membre de l'équation (7) changera de signe quand on fera croître w de c«>q — e à w© -4- e ; donc il y a au moins une racine dans cet intervalle. Mais je dis qu'il n'y en a qu'une seule. En effet, la dérivée du premier membre de l'équation (7) par rapport à a> est

pi M[cos(w — a) sin (« — P) -f- sin (w — a) ces (« — 6) ] H î— j

et elle différera aussi peu que l'on voudra de ztM sin(a — 6) , si e est suffisamment petit. Comme Ra est une fonction continue de o), en vertu de nos hypothèses, nous pouvons conclure que le premier membre de l'équation (7) est une fonction constamment croissante ou constamment décroissante, dans l'intervalle de «0 — € à «o -h e ; donc cette équation n'a que quatre racines, lesquelles diffèrent infiniment peu des angles respectifs a, w-t-a, 6, Tr-hê.

Le cercle décrit du point M comme centre, avec le rayon infiniment petit p, coupe doncla courbe en quatre points; et, parmi les quatre rayons qui passent par ces points, il y en a deux qui font respectivement des angles infiniment petits avec les deux directions de la droite inclinée de l'angle a sur l'axe des Xy tandis que les deux autres rayons font des angles infiniment petits avec les deux di-