CHAPITRE Vil

rec lions de la droite qui répond à l'angle S, Dans le cas que nous examinons, le point M est un point double.

184. Supposons maintenant que les racines de Téquation (6) soient égales entre elles. Dans ce cas, on a

^9^ (^).(IO.~(â^)!=°'

les angles a, S sont égaux entre eux, et l'équation (7) devient

(10) Msin'fw — a) +-^ r=o.

Mais il est ici nécessaire de prendre un terme de plus dans le développement fourni par la formule de Taylor. On a

Si la partie entre crochets de cette valeur de Rs ne s'annule pas pour (ù=a on pour co = 7r-f-a, elle conservera le même signe 4- ou — quand « croîtra de a — e à a-|-e, tandis qu'elle aura constamment le signe opposé — ou -h quand cd croîtra de7r-f-a — eàTr-f-a-f-c; d'ailleurs ce signe sera celui de R3, puisque p est supposé infiniment petit. Il résulte de là que l'équation (10) n'a que des racines infiniment voisines de l'angle a, ou que des racines infiniment voisines de l'angle tu 4- a. Les deux premières dérivées du premier membre de l'équation (10) sont

Msin2(6> — ol) -^ — ^9 2Mcos2{w~a]H -^- :

lorsque w diffère peu de a ou de 7r + «, la dérivée du deuxième ordre diffère peu de 4- 2M ; donc la dérivée du premier ordre est constamment croissante, et elle ne peut

276 CàLGUL DIFFÉRENTIEL.

s'annuler qu^lne seule fois; il s'ensuit que Téquation ( i o) ne peut avoir plus de deux racines; enfin ces deux racines existent effeclivement, puisque Rj est nécessairement négatif quand on donne à co Tune des deux valeurs «, :r -f- «.

Dans le cas que nous examinons, le cercle décrit du point M comme centre, avec un rayon infiniment petit, coupe la courbe en deux points, et les rayons qui aboutissent à ces points, situés de part et d'autre de la droite inclinée de l'angle a sur l'axe des x, forment avec l'une des deux directions de cette droite des angles infiniment petits. Donc le point M est un point de rebroussement du premier genre,

185. Il nous reste à examiner le cas où la partie entre crochets de l'équation (11) s'annule en même temps que sin(ci) — a). Ici, comme dans le cas précédent, l'équation (10) ne peut être satisfaite que par des valeurs de a> infiniment voisines de a ou de 7r-t-a; donc il ne peut y avoir, au point M de la courbe, qu'une seule tangente et celle-ci est inclinée sur l'axe des x de la quantité a. Pour reconnaître la nature du point M, il convient d'abandonner la considération du cercle de rayon p et de lui substituer deux parallèles à Taxe des 7% infiniment voisines et situées à des distances égales de M. Nous ferons h = th et nous poserons