CHAPITRE VIT

Si l'on arrête au cinquième terme le développement de/(j:o-hA,j^o -+-^), le reste pourra être représenté par

m désignant une quantité infiniment petite; par conséquent l'équation qui exprime que le point [xo -{- fh^o-^l) appartient à la courbe proposée sera

Dans le cas qui nous occupe, les deux racines de Téqua-

tion f2[t) = o sont égales entre elles, et en désignant

par t^ leur valeur, onayi(f|) = o; d'après nos pre-

. , . .1 sinoc ,

mières notations, tt est éffal au rapport ^— — : i et les

^ *^^ sin(ô— a)

racines réelles que l'équation (12) peut admettre sont infiniment peu différentes de t^. Posons

(i3) t — ti-h\/i.

X étant une nouvelle inconnue que nous substituerons à t; on aura

et si Ton fait, en outre.

ayS CALCUL DIFFÉREKTIEL.

l'équation (12) deviendra

(i4) F(X)-:-A[F,(>)+ib]==o,

m s*annulant avec h.

Si les racines de Téquation

sont imaginaires, il est évident que Téquation (i4) n'admettra pas de racines réelles; il n'y aura donc pas de tangente au point M de la courbe, et celui-ci sera un point isolé.

Si les racines de l'équation (i5) sont réelles et inégales, et qu'on les désigne par Vj ).^, il est évident que le premier membre de l'équation (i4) changera de signe, quel que soit le signe de A, quand on fera varier X dans le voisinage de À' ou de F. L'équation (r4)a donc deux racines réelles X',, X', et elle en a également deux autres X',, X^ quand on écrit — h au lieu de h; il résulte de là qu'il existe quatre points de la courbe pour lesquels on a, d'après la formule (i3).

Deux des quatre rayons qui joignent ces points au point M font des angles infiniment petits avec l'une des directions de la droite qui a le coefficient d'inclinaison £|, tandis que les deux autres rayons font des angles infiniment petits avec la direction opposée. Il s'ensuit que le point M est un point double oii se croisent deux branches de coui^be qui ont en ce point la même tangente.

Enfin, si les racines de l'équation (i5) sont égales, désignons par XMeur valeur, et supposons que l'équation

{16) Fi(>) = o