CHAPITRE VI

n'admette pas la racine V; l'équation (i4) prendra la forme

Cette équation a deux racines réelles X'^, X',, infiniment peu différentes de ïf, pourvu que h ait un signe

contraire à celui de 1 , , ; mais si Ton donne à A le sigrne

de cette quantité, l'équation n'admettra pas de racines réelles. Il s'ensuit qu'il existe deux points de la courbe, pour lesquels on a

d'ailleurs, si X' n'est pas nulle, 1\ et X\ sont de même signe; donc les rayons qui joignent les deux points au point M sont situés d'un même côté de la tangente et font avec l'une des directions de celle-ci des angles infiniment petits. Le point M est donc un point de rebroussement du deuxième genre.

Cette conclusion ne subsiste pas dans le cas de X'= o ; le rebroussement est alors du premier genre; elle peut aussi être en défaut dans le cas où 7! est racine de l'équation (i6). Mais il est facile de voir que le point M est toujours un point double ou un point isolé, quand il n'est pas un point de rebroussement.

186. Il resterait à examiner le cas où les trois dérivées partielles du deuxième ordre de lafonctiony(x,j^) s'annulent simultanément pour les coordonnées x^y jo du point M ; mais à cet égard je me bornerai à indiquer succinctement le résultat principal.

En général, si les valeurs Xo,^0 annulent toutes les dérivées partielles de la fonction f^ jusqu'à celles de l'ordre « — i inclusivement, la condition pour que Xo 4- A,

a80 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

j'o-^f^ soient les coordonnées d'un point de la courbe sera, en conservant les notations du n° 183,

*(w)sin(» — ai)sin(w — «j) . . .sin(&) — «/) H ^ =o;

s'annule avec p , et a o «a , . . . , a/ désignent des angles

réels dont le nombre i est égal à n ou égal à n diminué d'un nombre pair; enfin 4>(c«)) se réduit à une constante quand i = n, et elle est dans le cas contraire une fonction qui ne s'annule pour aucune valeur de w. On voit de suite que, si a i, 0^2 f ..., a/ sont des angles inégaux, le point M sera pour la courbe un point multiple de Tordre i, c'està-dire que i branches de courbe se couperont en ce point. Il s'ensuit que, pour un point multiple de l'ordre /i, 11 est nécessaire, mais non suffisant ^que les dérivées partielles de la fonctionydes ordres inférieurs à n s'annulent toutes pour les coordonnées du point M.

Dans l'hypothèse actuelle, les coefficients d'inclinaison des tangentes aux branches de courbe qui se croisent en M font partie des racines t de l'équation