dx"-»c[x

Si l'on supprime l'indice zéro, et que l'on écrive ~- au

Heu de f, la précédente équation coïncidera avec celle que Ton obtient en différentiant n fois l'équation

et de laquelle disparaissent en vertu de nos hypothèses toutes les dérivées — ^ » -—= ^ • • • des ordres supérieurs à I. C'est cette équation qui détermine ici chacune des

CHAPITIIE VIT.

valeurs de -7-', pour avoir la valeur correspondante de

—^ » il faut différenlier une fois de plus l'équation proposée, et ainsi de suite. Cette observation sert de complément à la règle générale que nous avons donnée pour la difTérentiation des fonctions implicites.

Différentielle de l'aire d'une courbe plane,

187. Considérons une courbe plane rapportée à deux axes de coordonnées faisant entre eux un angle 0; désignons par u Taire CAPM comprise entre un arc CM, l'axe des X et les coordonnées CA, MP des extrémités CM.

Si l'on regarde l'ordonnée CA comme fixe et l'ordonnée MP=j^ qui répond à l'abscisse OP=:j: comme variable, l'aire u sera une fonction de x\ nous nous proposons de trouver la différentielle de cette fonction.

Soit M'P'=j^4-A>^ l'ordonnée qui répond à l'abscisse 0P'=x-|-i3kj:; on peut supposer Ax assez petit, pour que l'ordonnée de la courbe aille constamment en croissant ou constamment en décroissant quand on passe du point M au point M'. Alors, si Ton mène MI et M'K parallèles à l'axe des x, l'accroissement i3ka = MPP'M' de l'aire u sera compris entre les aires j-Axsinô, (/-hAr)^-^sinÔ des parallélogrammes MPFIjKPP'M'. Or la différence àj Ax sin 0 de ces deux parallélogrammes

sSa CALCUL DIFFÉRENTIEL.

est infiniinent petite, par rapport à chacun d'eux, quand Ar devient infiniment petit; donc on a

Lu =^Aa:sind + tAx,

e s'annulant avec ù^x. On tire de là

Au

— =rsinÔH.«,

et, en passant à la limite,

-- =/sinô, d'où du^=ydjcsm9, dx i

Dans le cas des axes rectangulaires, cette formule se

réduit à

du z=iydx,

188. Divisons la partie AP de Taxe des abscisses en n parties égales ou inégales, mais qui deviennent toutes infiniment petites quand n devient infiniment grand, et désignons par Xq, X|, . . . , x^ le abscisses des points de division, par j^o> J^i > • • • > J^n les ordonnées correspondantes; Xa el yn ne sont autre chose que les coordonnées Xj y du point M. Nous avons vu (n** 10) que l'on a

u = sinô lim \ (ar^ — ^i-\)Xh

et il en résulte, d'après ce qui précède, que la limite de la somme

somme qu'on peut aussi représenter par

est une fonction de x dont la différentielle est jrdx. Ainsi que nous l'avons déjà remarqué au n^ 10, ce résultat