MM'=V

MI -hM'I =>/A.r*-+-Ar"

= Aa:i/]

et, comme -~- ne diffère de -j- que d'une quantité qui s'évanouit avec Ar, on peut écrire

MM'^Ax

e désignant une quantité qui s'annule avec Ax. 'Cette formule se rapportera à chacun des côtés de la ligne polygonale, si l'on prend respectivement pour x et j^ les coordonnées des sommets successifs; on a donc, en fai-

a84 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

sanl la somme de tous les côtés tels que MM'i

Supposons maintenant que le nombre n des côtés de notre ligne polygonale augmente indéfiniment, et que chacun des côtés de cette ligne tende vers zéro. Comme

la somme \ Ax a une valeur finie et constante qui esl

la différence AB des abscisses des extrémités de Tare CD, on aura (n" 9)

(2) limV

eAjr = 0.

En outre, si Ton prend x pour variable indépendante et que Ton construise la courbe dont l'ordonnée Y est déterminée en fonction de x, par Téquation

que GH soit la partie de cette courbe comprise entre les ordonnées CA, DB, et que Ton désigne par S Taire GABH, onaura(n°188)

(3) lim y YA.r =z lim V \/' "l" ^J Aa: = S;

donc la formule (i) donnera, à cause des égalités (2)

et (3),

(4) limP = S.

On voit ainsi que le périmètre d'une ligne polygonale inscrite dans un arc donné d ^une courbe plane tend vers une limite déterminée lorsque tous les côtés tendent vers zéro; en outre, cette limite est indépendante de la loi suivant laquelle décroissent les côtés du polygone.