I -f- -^ dr, ou ds =1^ Jdx^ 4- dr

190. La formule que nous venons d'établir permet de démontrer la proposition suivante : Le rapport d'un arc de courbe infiniment petit à sa corde a pour limite V unité.

Considérons l'arc MM' qui est l'accroissement ^s de l'arc CM = 5, et désignons par c la corde de MM'. On aura

et, en passant à la limite,

y/^^^-^^jr* , 1^ Ar«

as dx ds lim — 1= ■ =: ^ = I ,

da^

Cette propriété peut être employée pour trouver la différentielle d'un arc de courbe, quand aux coordonnées rectangulaires on substitue d'autres variables. Supposons,

a86 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

par exemple, qu'on demande la différentielle de Tare d'une courbe rapportée à des axes obliques faisant entre eux Tangle 9. Donnons à x l'accroissement Aj: et soient dy, A5 les accroissements correspondants de j^ et de 5; la corde de l'arc Asr a pour expression

c ■=. ^\x* -t- 2 A.r A/ cosô 4- Aj",

et, puisque le rapport de c à i2^5 a pour limite l'unité, on peut substituer c à A5 (n^ 8) quand on se propose de

As déterminer la limite du rapport — • On a donc

lim — = lim i / i Ax y

lim ^ = lim i / iH- 2 — cosô -h -^

Ax Ax'

ds ^ I dy ^ dy*

ds = ^dx* -\- ndx djr cosô 4- dy*

191. L*arc 5, compté à partir d'une origine arbitraire mais déterminée, est l'une des variables qu'il y a lieu d'introduire dans l'analyse des propriétés des courbes. La formule

ds=i ^dx*-\-djr*,

qui se rapporte au cas des coordonnées rectangulaires, laisse indéterminé le signe de ds\ ce signe doit toujours être 4- ou — suivant que l'arc s croît ou décroit quand la variable indépendante augmente

L'introduction de la différentielle ds fournit des expressions simples pour le cosinus et le sinus de l'angle a que fait la tangente de la courbe avec l'axe des x ; il importe de définir avec précision l'angle dont il s'agit. Imaginons que, par le point M d'une courbe, on mène la tangente et

ghapithe vif. 287

qu'on y transporte les axes des x et des^ parallèlement à eux-mêmes, puis considérons une droite mobile coïncidant à Forigine du mouvement avec la partie positive de Taxe des x^ s'élevant ensuite vers la partie positive de l'axe desj^ et continuant à se mouvoir dans le même sens. Si l'on désigne par a l'angle compris entre o et 36o degrés qui a été ainsi décrit, lorsque la d]:\)ite mobile coïncide avec l'une ou l'autre des deux directions de la tangente, il est clair que cette direction sera complètement déterminée quand l'angle en sera connu. Cela posé,

la formule

donne

sin« =

COSce

tang

^da

:2 4, tij^

ds'

Mais, comme rien ne détermine ici le signe du radical ^dx^ ■+■ dy^ ou dsy les formules précédentes se rapporteront à l'une ou à l'autre des deux directions de la tangente, selon qu'on admettra le signe -H ou le signe — .

Da rayon de courbure et du centre de courbure en un point d'une courbe plane.

192. On nomme couriure d'un arc de courbe plane ÂM, qui n'offre aucun point d'inflexion, l'angle SIT que font entre elles les directions AS, MT des tangentes menées par les extrémités de l'arc. Cet angle est celui qui serait engendré par une droite mobile passant par un point fixe, et dont les directions successives seraient parai-

a88 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

lèles aux tangentes menées par les difTérents points de l'arc AM.

Si rexlrémité A de Tare AM = s est fixe et que l'autre extrémité M varie, la courbure a deviendra va-

riable, et elle croîtra avec s tant que cet arc n'aura pas d'inflexion. La différentielle da de la courbure a de Tare AM est dite V angle de contingence au point M. On nomme courbure mojenne d'un arc de courbe AM

le rapport - de la courbure absolue à la longueur de

l'arc.

Enfin on nomme courbure d'une courbe en un point M la limite vers laquelle tend la courbure moyenne d'un arc infiniment petit ayant l'une de ses extrémités en M. D'après cela, si l'on désigne par s la longueur d'un arc terminé en M et compté à partir d'une origine A arbitraire, par a la courbure de l'arc AM, la limite vers laquelle tend le rapport

Ts'

quand ùis tend vers zéro, est ce que nous nommons la courbure de la courbe au point M. Quelle que soit la variable que l'on regarde comme indépendante, la limite dont il s'agit est égale à

et par conséquent la courbure d'une courbe en un point