CHAPITRE VIT

est le rapport de V angle de contingence à la différentielle de l'arc.

Dans le cercle, la courbure d'un arc est évidemment égale à Tangle au centre qui correspond à Tare, et la courbure moyenne ou le rapport de Fangle au centre à

l'arc est égale à l'inverse du rayon. Ce résultat s'applique à un arc quelconque fini ou infiniment petit; donc la courbure aux différents points de la circonférence d'un cercle est constante et égale à l'inverse du rayon.

193. Du RAYON nE COURBURE. — On nomme rayon de courbure en un point d'une courbe le rayon du cercle dont la courbure est égale à la courbure de la courbe au point donné ; ce cercle est dit lui-même cercle de courbure. On a, d'après ce qui précède, en désignant par R le rayon de courbure,

— = - ♦ d où R = — .

Il est aisé d'avoir les expressions de l'angle de contingence et du rayon de courbure en fonction des coordonnées rectangulaires. En effet, si a, Xq désignent les angles formés par la direction de Taxe des abscisses positives avec les directions des tangentes AS, MT, on aura évidemment .

dr 0" = a — oce, d'où zhd<T = dou

S. " Celle, dijr. ig

apo CILCUL DIFFÉBEBTISL.

Or

tang« = -^,

et Ton en tire par la difTérentiation

cos* a dx^

OU

d'ailleurs donc on a

± A = y'^* -t- ûÇ>'*,

dxd^y — djrd^x

Nous nous dispensons d'écrire le signe =b devant le second membre de cette formule, parce que le signe de

Texpression (dir^H- dy^y est lui-même indéterminé. Ce

signe doit être choisi de manière à rendre positive la

valeur du rayon R.

Dans les formules (i) et (2), la variable indépendante

n'est pas désignée ; si l'on prend x pour cette variable,

on aura

d^x l3) ±dfr^da= —dx

et

a=MI,

dx^