CHAPITRE Vit. apC

courbe dont le rayon de courbure soit constant. En effet, pour une telle courbe on a

ds = adcCf a étant une constante; par conséquent les équations

dx-=ids ces a, dyzrzds sina

donnent

dx=^a cosa da^ dy=za sina d%

ou

£& = — €/(asina), dy=.d[aco%OL)\

donc si Ton désigne par x^ et y^ deux constantes, on aura (n^ 15, coroU. II)

X — «0 = — a sina, y — ^o = aco8a, d'où

ce qui est l'équation d'un cercle.

195. Du gehtre de courbure. — Une courbe étant donnée, menons la tangente MT au point M, et construisons le cercle de courbure de manière qu'il passe par le point M, qu'il soit tangent à la ligne MT et qu'il soit,

par rapport à cette tangente, du même côté que les points de la courbe infiniment voisins de M. Le centre C du cercle se trouvera alors sur la normale au point M ; il est dit le centre de courbure relatif à ce point.

Théorème. — Ze centre de courbure d*une courbe en un point donné est la limite du point d'intersection de

apâ CALCUL difféhentiel.

la normale menée par ce point, avec la normale infiniment voisine.

Soient Xjj les coordonnées d'un point M de la courbe donnée, relatives à deux axes rectangulaires; l'équation de la normale en M sera

Représentons-la, pour abréger, par V =^ o. Pour avoir l'équation de la normale menée par un autre point M' (jc-hAr, y + ùi,y)y il suffira de remplacer dans l'équation précédente x, y y ■— par x ■+• Ar, y -H ûj,

-^ -f- A ~; nous représenterons l'équation ainsi obtenue par V -h AV = o. Le point d'intersection des deux normales sera donné par les deux équations

ou

ou enfin

V = o, V-f-AV = o,

V ~ o, AV = o,

AV

Supposons maintenant que le point M' se rapprocbe indéfiniment du point M; le point d'intersection des deux normales tendra vers une limite C dont les coordonnées seront déterminées par les deux équations

La première n'est autre chose que l'équation (i), et la seconde se déduit de celle-ci, par la difTérentiation, en regardant X et Y comme des constantes. Cette différen*