CHAPITRE VII
tiation donne
si donc on désigne par Xt, y^ les coordonnées du point C, on aura, par les équations (i) et (2),
{3) x^^x=z^ -— , y^—yz=z
En ajoutant les équations (3), après les avoir élevées au carré, on obtient
d'où il suit que la longueur MG est égale au rayon de courbure R. En outre, la première des formules (3)
montre que y^ — y est de môme signe que -7^5 or si
Ton désigne par Y l'ordonnée de la tangente MT, qui ré^pond à l'abscisse x-i-Ajr, la différence j- + Aj^ — Y
aura le signe de -7^ (n® 166); d'ailleurs j^ — Y a évidemment le signe de j^< — y\ donc j^i — Y eiy-^-ùy — Y sont aussi de même signe. Il résulte de là que le point (] est du même côté de la tangente que les points de la courbe infiniment voisins de M : donc ce point est bien le centre de courbure.
196. Nous nommerons direction de la normale en un point M d'une courbe celle du rayon de courbure en ce point. Cette direction est celle que suivrait un point mobile parlant de M pour se diriger vers C; elle
sera déterminée si Ton donne l'angle ^ qu'elle forme avec la direction de la partie positive de Taxe des x* L'angle \ peut varier de zéro à 36o degrés, et nous supposerons qu'il soit engendré de la même manière que l'angle a (n** 191), c'est-à-dire par une droite mobile d'abord parallèle à l'axe des x positives, et qui se mouvrait toujours dans le même sens en s'élevant d'abord vers la partie positive de l'axe desj-. Quant à l'angle a qui figure dans les formules du n° 191 , il n'est déterminé que quand on a fixé le signe de ds. Profitant de l'indétermination de ce signe, nous choisirons a de manière que l'on ait
l'angle a répond alors à une direction déterminée de la tangente, et les formules
dxz=zds cosa, dy =ids sina
ex:igent que l'origine de l'arc $ soit convenablement choisie.
Les cosinus des angles que fait la direction du rayon MC=: R avec les directions positives des axes étant ainsi égaux à — sina et -f- cosa, les formules (3) du n® 195 deviennent
x, — xz= — Rsina, jTi — j^ = Rcos«.
Enfin la difi'érentielle dot, a pour valeur (n^ 193)
d'où il suit que le second membre de la deuxième formule (3) du n^ 195 est aussi égal à -7- ou à -j- cosa; on
CnAPITRE VII. 2q5
a donc
ds Rr=--- ou ^ = Réfa;
par conséquent il résulte de nos hypothèses que ds et da sont de même signe, et que da est égale à Tangle de contingence da.
Des développées et des développantes des courbes planes.
197. Le lieu géométrique des centres de courbure aux divers points d'une courbe donnée est une seconde courbe qui est dite la développée de la première. Celleci est une développante relativement au lieu des centres de courbure.
Les équations (3) du n® 195 déterminent le centre de courbure, dans Thypothèse des coordonnées rectangulaires ; Fabscisse x y est prise pour variable indépendante,
mais celle-ci cessera d'être désignée si Ton écrit au lieu de -f- . Il vient ainsi
ii.r
jc^ — a: = ^ — ' • 9
dxd^jr — dyd^js
[da:^-\-dy^)dx
Xx — y — +
dx
dxd^jr — dyd^x
Les coordonnées a: et j^ étant des fonctions données d'une même variable indépendante, on aura Téquatioii de la développée en éliminant cette variable indépendante entre les équations précédentes.
198. Pour étudier les propriétés de la développée, nous emploierons les expressions des coordonnées du
296 CALCUL DIFFERENTIEL,
centre de courbure obtenues au n* 196, savoir :
/ j-i =r j? — R sin a,
I Xi =r + Rcosa;
R et a désignent le rayon de courbure et l'angle qui fixe la direction de la tangente. Les quantités qui figurent dans les équations (i) sont fonctions de ]a même variable indépendante, et la diflerentiation donne
dXi = dx — R cosa^a — r/R sîn«, dfi ^=^dj — R sinae/a H- ^/R cosa.
Mais les parties
dx — R cosa<ia, dj — R sinocé/a
sont nulles en vertu des formules
d[r = û^jcosa, ^ = (/îsina, dsr=z^daL\
on a
donc
simplement
( dx, :
— ^R sin a, = -h£/Rcos«,
et l'on déd
uit de
ces équations
dXx dx.
— cota
dn dx,'
ri— r
puis
dx\-^
dy\ — dïi}.
L'équation (3) exprime que les normales de la courht: donnée sont les tangentes de la dés^eloppée, et l'équation (4) montre que la différentielle du rayon de cour-
chapithe VII. 297
bure de la courbe donnée est égale à la différentielle ds^ de l'arc s^ de la développée, terminé au centre de courbure et compté, à partir d'une origine arbitraire.
Supposons que l'on compte Tare CoC = 5^ de la développée à partir d'un point Cq centre de courbure relatif au point Mq de la courbe donnée, et désignons parRo le rayon de courbure au point Mq. La formule (4) donnera
ds^=zdVi ou €/j, = rf(R — Ro);
les variables s^ et R — Rq ayant même différentielle et s'annulant simultanément, on a
5i = R — Ro.
Cette formule exprime la propriété suivante :
Un arc quelconque de la développée d'une courbe plane est égal à la différence des rayons de courbure qui aboutissent aux extrémités de l'arc de la développée,
199. C'est en raison de cette propriété que la courbe lieu des centres de courbure a reçu le nom de développée.
Soient Mo M| un arc quelconque de la courbe donnée, et Co Ci Tare correspondant de la développée. Si Ton fixe en Ci l'une des extrémités d'un fil de longueur
2q8 calcul DIFFÉREIÏTIEL.
Mi C| = Ri9 puis que Ton enroule ce ûl sur l'arc C| Co et qu'on le tende à partir de Co dans la direction CqMo, la seconde extrémité du fil tombera en Mo à cause de l'égalité CoC|=R| — Ro. Cela posé, si l'on déroule le fil en le tenant toujours tendu, il est évident que son extrémité décrira l'arc M0M4 ; car soit C| CM l'une des positions du fil, on a
CM = Co Mo -f- Co C = Ro H- f 1 ;
donc CM est le rayon de courbure qui aboutit au point C, et en conséquence le point M est sur l'arc Mo M|.
La développée d'une courbe algébrique est elle-même une courbe algébrique, et d'après ce qui précède tout arc de cette développée peut être exprimé par une fonction algébrique des coordonnées ; on dit alors que cette développée est rectifiable,
200. Pour revenir de la développée à la développante, on emploiera les deux équations
Xx—X djr +1 — 0 ^^ ~-^ ^ ^ .
arj — X dx ' x.^ — x dx^
Ici X\ et y\ sont des fonctions données d'une variable indépendante; en éliminant cette variable entre les équations précédentes, on obtiendra une équation entre x.
J'y -j- ï qui sera l'équation différentielle de la développante
demandée. Il est facile de voir que cette équation différentielle appartient à toutes les trajectoires orthogonales des tangentes de la courbe donnée, c'est-à-dire à toutes les courbes qui ont ces tangentes pour normales ; il en résulte qu'une courbe donnée a une infinité de développantes. Nous reviendrons plus loin sur cette question.
