CHAPITRE VIT
Formules relatives au système des coordonnées polaires.
201. Différentielle DE l'aire d'uw secteur. — Soit une courbe ÂM dont chaque point M est déterminé par le rayon vecteur OM = p issu du point fixe O, et par Fangle îù que fait la direction de ce rayon avec une direction fixe Ojt. Si le point A est fixe et que le point M soit variable, l'aire du secteur AOM, comprise entre la courbe et les rayons OA, OM, sera une fonction dont nous nous proposons de trouver la difFérentielle. Si l'on donne à w l'accroissement M'OM = Aw, le rayon vecteur croîtra de Ap, et Taire AOM = u du secteur prendra
l'accroissement
Ai/ = MOM'.
Décrivons du point O comme centre, avec les rayons OM, OM'y les deux arcs de cercle Mm, Wm\ terminés aux
cAtés de l'angle MOM'. On peut choisir Aco assez petit pour que le rayon vecteur de la courbe varie toujours dans le même sens quand on passe de M à M'; il s'ensuit que l'aire Au sera comprise entre les aires des secteurs circulaires OMm, OM'/n', lesquels ont pour valeurs
-p«Aw, -(p + Ap)*AM.
La limite du rapport de ces infiniment petits est Tu-
3oO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
nité; on peut donc substituer Tun d'eux à Au, tant
qu'il ne s'agit que d'obtenir la limite du rapport — • On
a ainsi
,. Am ,. ?. I ,
Jim — =: lim = - o'.
Au Au a
ou
-7- = - p' et auz= — û^dtù.
Menons par l'origine des rayons vecteurs la droite Or perpendiculaire à Ox, et désignons par x, y les coordonnées rectangulaires relatives à Ox et O^. On aura
r tangu =^ *— » û cosoi) = x\
la première équation donne par la difTérentiation
dfù .rdr — yd.T ,, , , , — ;— • = f 5 d ou p'rfiù) =: xdy — xojc.
cos' û> x*
Ainsi la différentielle de l'aire du secteur u peut encore s'exprimer par la formule
du :=: — [xdy — ydx^.
202. Expression de la différentielle d'un arc de COURBE. — Désignons par s l'arc AM dont l'origine A est fixe, tandis que l'extrémité M est variable (i;oir la figure du n° 201); soit aussi A5 l'accroissement MM' qui répond à l'accroissement Aot) de co. Abaissons du point M la perpendiculaire MP sur OM' et tirons la corde MM'; le triangle rectangle MPM' donnera
^7777' ttt;' ^TTTT^ /MM'X* /MP\« /M'P\»
