CHAPITRE VII- 3o

on a donc

do' d*p

OO" = -r-r atÙ»

D*ailleurs

et Ton en conclut cette valeur de R :

r-t-^xi-p

On peut déduire cette formule de celle qui se rapporte aux coordonnées rectangulaires; nous avons présenté ce calcul, comme exemple, au n^ 73 en nous occupant de la question du changement de variables.

Il est quelquefois avantageux d^introduire dans la

formule (i) les dérivées de - au lieu de celles de p. On a

et la substitution de ces valeurs dans la formule ( i ) donne

S. — Ca/c, diff, ao

3o6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Des courbes enveloppes,

207. Désignons pary(x,j', a) une fonction des trois variables x, j^, a dont la valeur soit bien déterminée quand on a fixé les valeurs de x, j^, a. Si Ton suppose que X et j^^ représentent des coordonnées d'une nature quelconque et que a soit un paramètre variable, Téquation

représentera une famille de courbes; à chaque valeur de a répondra une courbe individuelle.

Si; après avoir donné à a une valeur déterminée, on attribue à ce paramètre la nouvelle valeur a -f- Aa, on aura une seconde courbe qui aura pour équation

(a) /{'^'>X^ a-f- Aa) =0,

et qui coupera la première en certains points m, m', ...• Les coordonnées de ces points devront satisfaire aux équations des deux courbes, et par suite à Téquation

/ox /(jr,.r, «H- Aa] — /(x,^,«) __

^ ' Aa

Maintenant, si l'on fait tendre Aa vers zéro, les points 772, 77i', . . . tendront vers certaines limites M, M', .... et il est évident que les coordonnées des points M, M', . • • satisferont à l'équation (i) et à l'équation

à laquelle se réduit l'équation (3) quand Aa s'évanouît.

Il y aura donc sur chacune des courbes représentées

par l'équation (i) un certain nombre de points M, M', ...