CHAPITRE Vil
détermiDés comme nous venons de le dire. Le lieu géométrique de tous ces points est une ligne dont l'équation s'obtiendra par l'élimination de a entre les équations ( i ) et (4); cette ligne est dite V enveloppe des courbes que représente l'équation (i), et celles-ci, à leur tour, ont reçu le nom à^ enveloppées.
208. Il faut remarquer que l'enveloppe pourrait n'être plus donnée par cette règle, si le premier membre de l'équation ( i ) cessait d'être une fonction bien déterminée. Effectivement, un point commun à deux courbes infiniment voisines satisfera bien encore aux équations
/(xj, a)=o, /(x, j, a-i- A« =0;
mais, la fonction y* étant susceptible de plusieurs valeurs, on n'est plus en droit de dire quey*(j:, j", a -h Aa) ait pour limitey(x,^, a) quand Aa tend vers zéro.
J'éclaircirai cela par un exemple. Supposons qu'on demande l'enveloppe des circonférences représentées, dans le système des coordonnées rectangulaires, par l'équation
a étant une constante. Le premier membre de cette équation étant une fonction bien déterminée, notre règle est applicable ; la difTérentiation relative à a donne
et, par l'élimination de a, on obtient l'équation de l'enveloppe
7*--a*=o ou {^ — fl) (/H-a) = o;
enveloppe qui se compose de deux droites parallèles à l'axe des x.
L'équation des enveloppées que nous considérons
3o8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
étant du deuxième degré par rapport à cHy on peut lui donner la forme
a — X -4- sja^ — ^* = o,
et, si Ton voulait appliquer la règle du n** 207 à cette équation, on serait conduit à l'égalité absurde i = o. Or, ainsi que je Tai dit plus haut, la règle en question n'est pas ici applicable; si Ton considère deux courbes infiniment voisines et que Ton prenne pour Tune d'elles
il faudra prendre pour l'autre
a -h A« =r X qi \/a* — J*, sans quoi il n'y aurait pas de rencontre.
209. Les enveloppes ont une propriété commune qui est exprimée par la proposition suivante :
Théorème. — L'enveloppe d'un système de lignes est tangente aux enueloppées, en chacun des points oà elle les rencontre.
En effet, soit
l'équation des enveloppées, x et^ désignant des coordonnées rectilignes. "Nous supposons que la fonction y soit bien déterminée, et alors on a, pour l'enveloppe, les deux équations
Pour avoir le coefficient d'inclinaison — delà tangente en un point d'une enveloppée déterminée, il faut diffé-
CHAPTTKB VII. 809
rentier l'équation (i)^ ce qui donne
fi\ àf ^ df ^
* ' O-K dy
Supposons maintenant qu'on veuille connaître le coefficient d'inclinaison de la tangente en un point donné de l'enveloppe. On peut encore prendre l'équation (i) pour celle de l'enveloppe, pourvu qu'on regarde a non plus comme une constante, mais comme une fonction de x et dej^ déterminée parla seconde équation (2); il faut donc différentier l'équation (i) dans cette hypothèse, pour
dy obtenir la valeur de ~- qui convient à l'enveloppe. La
difTérentiation donne
^ ' àx df doL
mais ]a seconde équation (2), qui a lieu pour l'enveloppe, réduit l'équation (4) à l'équation (3). Ainsi l'on aura, pour l'enveloppe et pour les enveloppées,
dy Ox
(^^ dx—'-ôr
ày
Quand il s^aglt d'un point d'une enveloppée, a a, dans la formule (5), la valeur qui convient à cette enveloppée ; mais, quand il s'agit d'un point de l'enveloppe, a a la va-
leur tirée de l'équation -r- =0. Maintenant, si l'on con-
sidère un point M commun à une enveloppée et à l'enveloppe, la valeur de a qui répond à l'enveloppée sera égale
■Ni»
à celle qu'on tirerait de l'équation -^ = o, puisque celle-
dr ci a lieu pour le point M. La valeur de -y est donc la
3lO CALCUL DIFFI^KEMTIEL.
même pour Tune et l'autre courbe, et par conséquent celles-ci sont tangentes au point M.
Remarque. — Nous avons déjà rencontré un exemple de la propriété que nous venons d'établir. La développée d'une courbe n'est autre chose, en effet, que l'enveloppe des normales de cette courbe et nous avons reconnu qu'elle a ces normales pour tangentes.
210. Nous présenterons ici une application importante de la théorie des enveloppes.
Si Ton considère une courbe quelconque rapportée à deux axes rectangulaires et que l'on désigne par a l'angle que la direction de l'axe des abscisses fait avec la direction de la tangente, l'équation *de cette tangente sera
(1) xsinoe — ^cosa =:-y(a),
f(ot) étant une fonction de a qui dépend de la nature de la courbe. Mais celle-ci étant l'enveloppe de ses tangentes, son équation s'obtiendra en éliminant a entre la précédente équation et celle qu'on en déduit par la différentiation relative à a, savoir :
(2) .rcosa -h^sina :!=/'(«).
On peut prendre a pour variable indépendante, et les équations (i) et (2) feront connaître les coordonnées x et y de la courbe en fonction de a. On trouve ainsi
i Jr=/'(a)cosa-4-/(a)sina, I y =/'(«) sîna— /(a)cosa.
La différentiation de ces équations (3) donne ensuite ajoutant les équations (4) après les avoir élevées au carré
CHiPITRE YII. 3ll
et extrayant ensuite la racine carrée de Téq nation résultante, on aura
(5) ^ = [/-(«)-f-/(«)]rf«,
ce qui, au surplus, résulte des formules du n® Ol* Comme dcn est évidemment égal à l'angle de contingence» on a cette expression du rayon de courbure :
Les formules qui précèdent sont susceptibles d'applications diverses; nous en présenterons un exemple.
Lorsqu'on donne à a. une valeur déterminée, l'équation (2) représente une droite perpendiculaire à la droite (i) au point que déterminent les équations (3) et qui appartient à la cout'be proposée ; il en résulte que l'équation (2) représente les normales de la courbe. Si nous prenons la dérivée de cette équation (2) par rapport à a, savoir :
(7) — xsina -h/cosa ^/"(a),
le système des équations (2) et (7) appartiendra à l'enveloppe des droites (2), enveloppe qui est la développée de la courbe proposée. Désignons par x^, j^ les valeurs de X et de j^ tirées des équations (2) et (7), on aura
I JTi =/'(«) sina H- /''(«) cosa;
ces formules font connaître les coordonnées du centre de courbure. En les différentiant, on trouve
( ^j = -[/'(«) 4. /-(«j]sin«rf«, d'où, en appelant s^ l'arc de la développée,
On retrouve ainsi les résultats obtenus au n° 198.
3ia
Contacts des dwers ordres des courbes planes.
21 1 . Soit ST la tangente au point M d^une courbe MRP et considérons une seconde courbe MM', passant par le point M. Prenons sur la -première courbe le point M' infiniment voisin de M et abaissons sur la tangente ST la perpendiculaire M'Q qui rencontrera la seconde
courbe au point M', ; la ligne MQ étant prise pour infiniment petit principal, M'Q sera généralement, comme on Ta vu au n° 166, un infiniment petit du deuxième ordre. Si la courbe MM', n'est pas tangente à la droite ST au point M, la ligne M', Q sera un infiniment petit du premier ordre ; mais, dans le cas contraire, elle sera au moins du deuxième ordre.
Lorsque les deux courbes MM', MM', ont au point M la même tangente ST, on dit qu'il y a entre elles contact au point M, et comme, dans ce cas, M'Q et M', Q sont des infiniment petits du deuxième ordre au moins, la même chose aura lieu à l'égard de M'M' qui est la différence ou la somme de ces lignes. Généralement, si ju-l-i désigne l'ordre infinitésimal de M'M, relativement à l'infiniment petit principal MQ, nous dirons que les deux courbes ont, au point M, un contact de l'ordre (x.
Cela posé, traçons deux axes de coordonnées Ox, Ojj faisant entre eux un angle quelconque 0 et dont le second
